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title: "《线性代数》矩阵乘法与线性变换复合"
date: 2023-08-06T15:02:43+08:00

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## 矩阵与复合线性变换的关系

复合线性变换：完成一次变换后再次进行变换，如先旋转再剪切。与一次变换相同，也可通过追踪$\hat{i}$和$\hat{j}$来确定变换后的向量变换

新矩阵表示了一个单独的作用来完成复合线性变换

对于一个先旋转后剪切的线性变换，可以用以下方式来进行计算

选左乘旋转矩阵再左乘剪切矩阵,数值上表示对一个给定向量进行旋转然后剪切

$$
\begin{bmatrix}
    1 & 1 \\\\
    0 & 1
\end{bmatrix}
(\begin{bmatrix}
    0 & -1 \\\\
    1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\\\
    y
\end{bmatrix}) = 
\begin{bmatrix}
    1 & -1 \\\\
    1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\\\
    y
\end{bmatrix}
$$

由此可得，对于下列矩阵，需要从右向左读，即先应用右侧矩阵描述的变换再应用左侧矩阵描述的变换

$$
\begin{bmatrix}
    1 & 1 \\\\
    0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    0 & -1 \\\\
    1 & 0
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    1 & -1 \\\\
    1 & 0
\end{bmatrix}
$$

**两个矩阵相乘有着几何意义，即两个线性变换相继作用**

## 矩阵相乘计算流程

$$
\begin{bmatrix}
    a & b \\\\
    c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    e & f \\\\
    g & h
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    ? & ? \\\\
    ? & ?
\end{bmatrix}
$$

首先，要得知$\hat{i}$的终点可由第二个矩阵的第一列得知，因此

$$
\begin{bmatrix}
    a & b \\\\
    c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    e  \\\\
    g 
\end{bmatrix} = 
e
\begin{bmatrix}
    a \\\\
    c
\end{bmatrix} +
g
\begin{bmatrix}
    b \\\\
    d
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    ae + bg  \\\\
    ce + dg 
\end{bmatrix}
$$

其次，$\hat{j}$终点在右侧矩阵第二列所表示的位置上

$$
\begin{bmatrix}
    a & b \\\\
    c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    f  \\\\
    h 
\end{bmatrix} = 
f
\begin{bmatrix}
    a \\\\
    c
\end{bmatrix} +
h
\begin{bmatrix}
    b \\\\
    d
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    af + bh  \\\\
    cf + dh 
\end{bmatrix}
$$

可得最终结果为

$$
\begin{bmatrix}
    a & b \\\\
    c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    e & f \\\\
    g & h
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    ae + bg & af + bh \\\\
    ce + dg & cd + dh
\end{bmatrix}
$$

### 矩阵相乘顺序

$$
M_1M_2 \not ={M_2M_1}
$$

矩阵相乘结果受顺序影响

可由相乘本质是进行多次线性变换得知，改变变换的顺序会导致不同的结果

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9B%B8%E4%B9%98%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E8%A1%A8%E7%A4%BA.gif)

对于结合律，本质上没有改变变换的顺序，因而不会导致结果不同

$$
A(BC) = (AB)C
$$

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/%E7%BB%93%E5%90%88%E5%BE%8B%E5%8F%98%E6%8D%A2%E8%AF%81%E6%98%8E.gif)


## 三维空间下的线性变换

三维空间下的线性变换可由二维拓展，都可由基向量表示所有的向量

三维下需要引入三个基向量，X轴的$\hat{i}$，Y轴的$\hat{j}$，Z轴的$\hat{k}$

需要得知变换后的向量位置只需要将坐标与矩阵的对应列相乘

$$
\begin{bmatrix}
    0 & 1 & 2 \\\\
    3 & 4 & 5 \\\\
    6 & 7 & 8
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\\\
    y \\\\
    z
\end{bmatrix} = 
x
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    3 \\\\
    6 
\end{bmatrix}+
y
\begin{bmatrix}
    1 \\\\
    4 \\\\
    7
\end{bmatrix} + 
z
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    8
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
    0+y+2z \\\\
    3x+4y+5z \\\\
    6x+7y+8z
\end{bmatrix}
$$

对于两个矩阵相乘也是类似的，第二个矩阵的三个列分别对应三个基向量的位置

$$
\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    0 & 1 & 2 \\\\
    3 & 4 & 5 \\\\
    6 & 7 & 8
\end{bmatrix}
$$

$\hat{i}$的终点可由第二个矩阵的第一列得知

$$
\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    3 \\\\
    6
\end{bmatrix} = 
0
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    5 \\\\
    1
\end{bmatrix} + 
3
\begin{bmatrix}
    -2 \\\\
    1 \\\\
    4
\end{bmatrix} +
6
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    -1
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    0-6+12  \\\\
    0+3+30 \\\\
    0+12-6
\end{bmatrix}
$$

$\hat{j}$的终点可由第二个矩阵的第二列得知

$$
\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    1 \\\\
    4 \\\\
    7
\end{bmatrix} = 
1
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    5 \\\\
    1
\end{bmatrix} + 
4
\begin{bmatrix}
    -2 \\\\
    1 \\\\
    4
\end{bmatrix} +
7
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    -1
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    0-8+14  \\\\
    5+4+35 \\\\
    1+16-7
\end{bmatrix}
$$

$\hat{k}$的终点可由第二个矩阵的第三列得知

$$
\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    8
\end{bmatrix} = 
2
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    5 \\\\
    1
\end{bmatrix} + 
5
\begin{bmatrix}
    -2 \\\\
    1 \\\\
    4
\end{bmatrix} +
8
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    -1
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    0-10+16  \\\\
    10+5+40 \\\\
    2+20-8
\end{bmatrix}
$$

所以最终结果为

$$
\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    0 & 1 & 2 \\\\
    3 & 4 & 5 \\\\
    6 & 7 & 8
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    0-6+12 & 0-8+14 & 0-10+16  \\\\
    0+3+30 & 5+4+35 & 10+5+40 \\\\
    0+12-6 & 1+16-7 & 2+20-8
\end{bmatrix}
$$

## 非方阵

对于一个3$\times$2矩阵$\begin{bmatrix}
    2 & 0 \\\\
    -1 & 1 \\\\
    -2 & 1 
\end{bmatrix}$同样可以用线性变换来解释，只是输入向量和输出向量在不同维度上，因而没有关联

第一列认为是变换后的$\hat{i}$,第二列认为是变换后的$\hat{j}$ 

列空间是三维空间中一个过原点的二维平面，但由于列空间的维数与输入空间维数相等，依旧是满秩的，几何意义是将二维空间映射到三维空间上

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同样地，对于一个2 $\times$ 3矩阵



几何上表示将三维空间映射到二维空间上

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/2X3%E7%9F%A9%E9%98%B5.png)

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二维到一维空间的转换也存在，一维空间本质就是数轴，即将两个基向量压缩到一条直线上，如果直线上有一系列等距分布的点，在映射到数轴后依旧保持等距分布此处不再过多赘述

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/%E4%BA%8C%E7%BB%B4%E5%88%B0%E4%B8%80%E7%BB%B4.gif)