补充公式大全中的行列式
continuous-integration/drone/push Build is passing
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continuous-integration/drone/push Build is passing
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40810e50d1
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50526116d3
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@ -14,8 +14,242 @@ date: 2022-12-24T13:05:40+08:00
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设在某个过程中有两个变量x和y,对变量x在允许的范围内的每一个确定的值,变量y按照某一确定的法则总有相应的值与之对应,则称y为x的函数,记为y=f(x)
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设在某个过程中有两个变量x和y,对变量x在允许的范围内的每一个确定的值,变量y按照某一确定的法则总有相应的值与之对应,则称y为x的函数,记为y=f(x)
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# 线性代数
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# 线性代数
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## 行列式
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### 行列式定义和性质
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#### 行列式定义
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n阶行列式
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$$
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
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a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix}
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= \sum_{(j_1,j_2,\cdots j_n)}(-1)^{(j_1,j_2,\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj}
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$$
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$\sum_{(j_1,j_2,\cdots j_n)}$表示对所有n级排列求和
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#### 行列式性质
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* 行列互换,行列式的值不变,也即$D=D^T$
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* 任意两行(列)互换位置后,行列式改变符号
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* 如果行列式中有两行(列)对应元素相同,则行列式的值为0
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* 将行列式的某一行(列)乘以一个常数k后,行列式的值变为原来的k倍
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* 如果行列式的某一行(列)全为0,则行列式的值等于0
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* 行列式的某两行(列)元素对应成比例,则行列式的值等于0
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* 如果行列式某一行(列)的所有元素都可以写成两个元素的和,则该行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式的这一行(列)分别对应两个加数,其余行(列)与原行列式相等
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$$
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
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a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \ddots & a_{in}+b_{in} \\\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
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a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix} =
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
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a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
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a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix} +
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
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b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\\\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
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a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix}
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$$
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* 将行列式的某行(列)的k倍加到另一行(列)上,行列式的值不变
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### 行列式展开定理
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#### 余子式及代数余子式
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在n阶行列式$D=|a_{ij}|$中,划掉$a_{ij}$所在第i行和第j列的所有元素后,余下$(n-1)^2$个元素按照原有次序构成一个(n-1)阶行列式,称为元素$a_{ij}$在D中的余子式,记作$M_{ij}$
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$$
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M_{ij} =
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \cdots & a_{1n} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2(j-1)} & a_{2(j+1)} & \cdots & a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & \vdots& \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\\\
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a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2} & \cdots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \cdots & a_{(i-1)n} \\\\
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a_{(i+1)1} & a_{(i+1)2} & \cdots & a_{(i+1)(j+1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \cdots & a_{(i+1)n} \\\\
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|
\vdots & \vdots & \vdots& \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\\\
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a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \cdots & a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix}
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$$
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记作$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$,称作元素$a_{ij}$的代数余子式
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#### 行列式按一行(列)展开
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n阶行列式D等于其任一行(列)各元素与其代数余子式乘积之和
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$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots +a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}(i=1,2,\cdots,n)=a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots +a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}(j = 1,2,\cdots,n)$
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推论:
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行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和为零
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$$
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\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}= a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} + \cdots +a_{in}A_{kn} = 0 (i\not ={k})
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$$
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$$
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\sum_{j=1}^na_{ji}A_{jk}= a_{1i}A_{1k} + a_{2i}A_{2k} + \cdots +a_{ni}A_{nk} = 0 (i\not ={k})
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$$
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### 特殊行列式
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#### 上三角、下三角、对角形行列式
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$
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\\\
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0 & a_{22} & \cdots & 0 \\\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
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0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix} =
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
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0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
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0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix} =
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
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a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix} =
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a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
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$
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#### 次对角线行列式
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$
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\begin{vmatrix}
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0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\\\
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0 & \cdots & 2_{2(n-1)} & 0\\\\
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\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
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a_{nn} & \cdots & 0 & 0 \\\\
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\end{vmatrix} =
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} & a_{1n} \\\\
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a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} & 0\\\\
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\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
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a_{n1} & \cdots & 0 & 0 \\\\
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\end{vmatrix} =
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\begin{vmatrix}
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0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\\\
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0 & \cdots & a_{2(n-1)} & a_{2n}\\\\
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\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
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a_{n1} & \cdots & a_{n(n-1)} & a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix} =
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(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}\cdots a_{n1}
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$
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#### 范德蒙德行列式
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$\begin{vmatrix}
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1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\\\
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a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\\\
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a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\\\
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\vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\\\
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a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}
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\end{vmatrix} =
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\prod_{1\leq i < j \leq n}(a_j-a_i)
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$
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#### 拉普拉斯展开式
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} & & O_{k\times l} \\\\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\\\
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a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\\\
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c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\\\
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c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k} & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\\\
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\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
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c_{l1} & c_{l2} & \cdots & c_{lk} & b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll}
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\end{vmatrix} =
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\\\
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|
\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
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|
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\\\
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\end{vmatrix}
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\begin{vmatrix}
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b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\\\
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b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\\\
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|
\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
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|
b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \\\\
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\end{vmatrix}
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$
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---
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$
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\begin{vmatrix}
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c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\\\
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|
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k} & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\\\
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|
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
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|
c_{l1} & c_{l2} & \cdots & c_{lk} & b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \\\\
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|
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\\\
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|
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} & & O_{k\times l} \\\\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\\\
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|
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk}
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\end{vmatrix} = (-1)^{kd}
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\\\
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|
\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
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|
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\\\
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\end{vmatrix}
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\begin{vmatrix}
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b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\\\
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b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\\\
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|
\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
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b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \\\\
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\end{vmatrix}
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$
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### 行列式有关的重要公式
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设A,B均为n阶方阵,k为常数,E为n阶单位矩阵,A*为A的伴随矩阵
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* $|kA| = k^n \cdot {|A|}$
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* 若A是可逆矩阵,则有$|A^{-1} = \frac{1}{|A|}$
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* $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$
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* |A*| = |A|^{n-1}
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* $A \cdot A* = A* \cdot A = |A| \cdot E$
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* $|A| = \prod_{i=1}^n\lambda_i(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是A的全部特征值)$
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* $|A|\not ={0}\iff A$为可逆矩阵$\iff$A为满秩矩阵,即$r(A) = n$
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## 矩阵
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### 矩阵定义
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## 向量
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## 向量
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### n维向量定义及其运算
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### n维向量定义及其运算
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