完成《线性代数》矩阵与线性变换

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+title: "《线性代数》矩阵乘法与线性变换复合"
+date: 2023-08-06T15:02:43+08:00
+
+---
+
+## 矩阵与复合线性变换的关系
+
+复合线性变换：完成一次变换后再次进行变换，如先旋转再剪切。与一次变换相同，也可通过追踪$\hat{i}$和$\hat{j}$来确定变换后的向量变换
+
+新矩阵表示了一个单独的作用来完成复合线性变换
+
+对于一个先旋转后剪切的线性变换，可以用以下方式来进行计算
+
+选左乘旋转矩阵再左乘剪切矩阵,数值上表示对一个给定向量进行旋转然后剪切
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    1 & 1 \\\\
+    0 & 1
+\end{bmatrix}
+(\begin{bmatrix}
+    0 & -1 \\\\
+    1 & 0
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    x \\\\
+    y
+\end{bmatrix}) = 
+\begin{bmatrix}
+    1 & -1 \\\\
+    1 & 0
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    x \\\\
+    y
+\end{bmatrix}
+$$
+
+由此可得，对于下列矩阵，需要从右向左读，即先应用右侧矩阵描述的变换再应用左侧矩阵描述的变换
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    1 & 1 \\\\
+    0 & 1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    0 & -1 \\\\
+    1 & 0
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    1 & -1 \\\\
+    1 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+**两个矩阵相乘有着几何意义，即两个线性变换相继作用**
+
+## 矩阵相乘计算流程
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    a & b \\\\
+    c & d
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    e & f \\\\
+    g & h
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    ? & ? \\\\
+    ? & ?
+\end{bmatrix}
+$$
+
+首先，要得知$\hat{i}$的终点可由第二个矩阵的第一列得知，因此
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    a & b \\\\
+    c & d
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    e  \\\\
+    g 
+\end{bmatrix} = 
+e
+\begin{bmatrix}
+    a \\\\
+    c
+\end{bmatrix} +
+g
+\begin{bmatrix}
+    b \\\\
+    d
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    ae + bg  \\\\
+    ce + dg 
+\end{bmatrix}
+$$
+
+其次，$\hat{j}$终点在右侧矩阵第二列所表示的位置上
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    a & b \\\\
+    c & d
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    f  \\\\
+    h 
+\end{bmatrix} = 
+f
+\begin{bmatrix}
+    a \\\\
+    c
+\end{bmatrix} +
+h
+\begin{bmatrix}
+    b \\\\
+    d
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    af + bh  \\\\
+    cf + dh 
+\end{bmatrix}
+$$
+
+可得最终结果为
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    a & b \\\\
+    c & d
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    e & f \\\\
+    g & h
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    ae + bg & af + bh \\\\
+    ce + dg & cd + dh
+\end{bmatrix}
+$$
+
+### 矩阵相乘顺序
+
+$$
+M_1M_2 \not ={M_2M_1}
+$$
+
+矩阵相乘结果受顺序影响
+
+可由相乘本质是进行多次线性变换得知，改变变换的顺序会导致不同的结果
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9B%B8%E4%B9%98%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E8%A1%A8%E7%A4%BA.gif)
+
+对于结合律，本质上没有改变变换的顺序，因而不会导致结果不同
+
+$$
+A(BC) = (AB)C
+$$
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/%E7%BB%93%E5%90%88%E5%BE%8B%E5%8F%98%E6%8D%A2%E8%AF%81%E6%98%8E.gif)
+
+
+## 三维空间下的线性变换
+
+三维空间下的线性变换可由二维拓展，都可由基向量表示所有的向量
+
+三维下需要引入三个基向量，X轴的$\hat{i}$，Y轴的$\hat{j}$，Z轴的$\hat{k}$
+
+需要得知变换后的向量位置只需要将坐标与矩阵的对应列相乘
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    0 & 1 & 2 \\\\
+    3 & 4 & 5 \\\\
+    6 & 7 & 8
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    x \\\\
+    y \\\\
+    z
+\end{bmatrix} = 
+x
+\begin{bmatrix}
+    0 \\\\
+    3 \\\\
+    6 
+\end{bmatrix}+
+y
+\begin{bmatrix}
+    1 \\\\
+    4 \\\\
+    7
+\end{bmatrix} + 
+z
+\begin{bmatrix}
+    2 \\\\
+    5 \\\\
+    8
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+    0+y+2z \\\\
+    3x+4y+5z \\\\
+    6x+7y+8z
+\end{bmatrix}
+$$
+
+对于两个矩阵相乘也是类似的，第二个矩阵的三个列分别对应三个基向量的位置
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    0 & -2 & 2 \\\\
+    5 & 1 & 5 \\\\
+    1 & 4 & -1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    0 & 1 & 2 \\\\
+    3 & 4 & 5 \\\\
+    6 & 7 & 8
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$\hat{i}$的终点可由第二个矩阵的第一列得知
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    0 & -2 & 2 \\\\
+    5 & 1 & 5 \\\\
+    1 & 4 & -1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    0 \\\\
+    3 \\\\
+    6
+\end{bmatrix} = 
+0
+\begin{bmatrix}
+    0 \\\\
+    5 \\\\
+    1
+\end{bmatrix} + 
+3
+\begin{bmatrix}
+    -2 \\\\
+    1 \\\\
+    4
+\end{bmatrix} +
+6
+\begin{bmatrix}
+    2 \\\\
+    5 \\\\
+    -1
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    0-6+12  \\\\
+    0+3+30 \\\\
+    0+12-6
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$\hat{j}$的终点可由第二个矩阵的第二列得知
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    0 & -2 & 2 \\\\
+    5 & 1 & 5 \\\\
+    1 & 4 & -1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    1 \\\\
+    4 \\\\
+    7
+\end{bmatrix} = 
+1
+\begin{bmatrix}
+    0 \\\\
+    5 \\\\
+    1
+\end{bmatrix} + 
+4
+\begin{bmatrix}
+    -2 \\\\
+    1 \\\\
+    4
+\end{bmatrix} +
+7
+\begin{bmatrix}
+    2 \\\\
+    5 \\\\
+    -1
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    0-8+14  \\\\
+    5+4+35 \\\\
+    1+16-7
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$\hat{k}$的终点可由第二个矩阵的第三列得知
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    0 & -2 & 2 \\\\
+    5 & 1 & 5 \\\\
+    1 & 4 & -1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    2 \\\\
+    5 \\\\
+    8
+\end{bmatrix} = 
+2
+\begin{bmatrix}
+    0 \\\\
+    5 \\\\
+    1
+\end{bmatrix} + 
+5
+\begin{bmatrix}
+    -2 \\\\
+    1 \\\\
+    4
+\end{bmatrix} +
+8
+\begin{bmatrix}
+    2 \\\\
+    5 \\\\
+    -1
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    0-10+16  \\\\
+    10+5+40 \\\\
+    2+20-8
+\end{bmatrix}
+$$
+
+所以最终结果为
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    0 & -2 & 2 \\\\
+    5 & 1 & 5 \\\\
+    1 & 4 & -1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    0 & 1 & 2 \\\\
+    3 & 4 & 5 \\\\
+    6 & 7 & 8
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    0-6+12 & 0-8+14 & 0-10+16  \\\\
+    0+3+30 & 5+4+35 & 10+5+40 \\\\
+    0+12-6 & 1+16-7 & 2+20-8
+\end{bmatrix}
+$$