完成《线性代数》行列式

content/mathematics/《线性代数》行列式.md

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+title: "《线性代数》行列式"
+date: 2023-08-06T19:43:02+08:00
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+## 行列式
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+本质：描述线性变换过程中，一个给定区域的面积增大或减小的比例
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E6%9C%AC%E8%B4%A8.gif)
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+当矩阵的行列式为0时，表明将整个平面压缩到一条线甚至是一个点上,即只需要确认行列式是否为0就能了解该矩阵的变换是否导致空间降低维度
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E4%B8%BA0.gif)
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+行列式中允许出现负值，负值时意味着翻转的方式来改变了空间的方向,行列式的绝对值依旧表示面积的缩放大小
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E8%B4%9F%E5%80%BC.gif)
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E8%B4%9F%E5%80%BC%E4%BA%A7%E7%94%9F%E7%90%86%E8%A7%A3.gif)
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+## 三维空间行列式
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+与二维空间类似，此时表示体积的缩放大小
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+在三维空间中，往往聚焦于三个基向量围成的体积为1的立方体，在线性变换后立方体往往会变为一个平行六面体，此时行列式可以简单看作这个平行六面体的体积
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E4%B8%89%E7%BB%B4%E4%B8%8B%E4%BD%93%E7%A7%AF%E6%8B%89%E4%BC%B8.gif)
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+行列式为0时，意味着立方体的体积变换为0，即一个平面或一条直线，甚至一个点
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+行列式为负值时，涉及空间方向改变
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+空间正向使用右手法则来定义即右手食指指向$\hat{i}$方向，中指指向$\hat{j}$方向，大拇指指向$\hat{k}$方向，如果在变换后只能用左手表示，则说明行列式为负
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E4%B8%89%E7%BB%B4%E4%B8%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E8%B4%9F%E5%80%BC.gif)
+
+## 行列式计算公式
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+$$
+det(\begin{bmatrix}
+    a & b  \\\\
+    c & d
+\end{bmatrix}) = ad -bc
+$$
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+直观理解：
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E5%85%AC%E5%BC%8F%E7%9B%B4%E8%A7%82%E7%90%86%E8%A7%A3.gif)
+
+即使其中一项为0，最后得到的依旧是一个平行四边形
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E5%8F%AA%E6%9C%89%E4%B8%80%E9%A1%B90.png)
+
+公式中bc值的确切含义
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/bc%E7%9A%84%E7%A1%AE%E5%88%87%E5%90%AB%E4%B9%89.png)
+
+三维空间中的行列式计算
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+$det(\begin{bmatrix}
+    a & b & c \\\\
+    d & e & f \\\\
+    g & h & i
+\end{bmatrix}) = 
+a \\ det(\begin{bmatrix}
+    e & i  \\\\
+    h & f
+\end{bmatrix}) - 
+b \\ det(\begin{bmatrix}
+    d & f  \\\\
+    g & i
+\end{bmatrix}) +
+c \\ det(\begin{bmatrix}
+    d & e  \\\\
+    g & h
+\end{bmatrix})
+$
+
+矩阵相乘本质是两次线性变换，而行列式是线性变换后面积变化比例，在顺序不变情况下，自然行列式的值乘积相等
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+$det(M_1M_2) = det(M_1) det(M_2)$