完成公式大全中的向量部分
continuous-integration/drone/push Build is passing
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continuous-integration/drone/push Build is passing
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2f34c3c5af
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d9c1748967
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@ -77,10 +77,64 @@ date: 2022-12-24T13:05:40+08:00
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- [向量组的线性组合](#向量组的线性组合)
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- [线性表出（线性表示）](#线性表出线性表示)
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- [向量组的等价](#向量组的等价)
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- [向量组的线性相(无)关性](#向量组的线性相无关性)
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- [线性相关性的定义](#线性相关性的定义)
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- [线性相关性判断定理](#线性相关性判断定理)
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- [一些重要定理与结论](#一些重要定理与结论)
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- [向量组的线性相(无)关性](#向量组的线性相无关性)
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- [线性相关性的定义](#线性相关性的定义)
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- [线性相关性判断定理](#线性相关性判断定理)
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- [一些重要定理与结论](#一些重要定理与结论)
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- [极大无关组与向量组的秩](#极大无关组与向量组的秩)
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- [极大无关组定义](#极大无关组定义)
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- [极大无关组的性质](#极大无关组的性质)
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- [向量组的秩与矩阵的秩之间的关系](#向量组的秩与矩阵的秩之间的关系)
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- [内积与施密特正交化](#内积与施密特正交化)
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- [向量的内积](#向量的内积)
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- [内积定义](#内积定义)
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- [内积性质](#内积性质)
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- [对称性](#对称性)
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- [线性性](#线性性)
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- [正定性](#正定性)
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- [向量的长度](#向量的长度)
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- [两向量的夹角](#两向量的夹角)
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- [标准正交向量组](#标准正交向量组)
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- [标准正交向量组定义](#标准正交向量组定义)
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- [施密特正交化方法](#施密特正交化方法)
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- [正交矩阵](#正交矩阵)
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- [线性方程组](#线性方程组)
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- [线性方程组的4种表示形式](#线性方程组的4种表示形式)
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- [一般表示式](#一般表示式)
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- [$\\sum$记号表示式](#sum记号表示式)
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- [矩阵表示方式](#矩阵表示方式)
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- [向量表示式](#向量表示式)
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- [线性方程组有解的判别条件](#线性方程组有解的判别条件)
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- [克莱姆法则](#克莱姆法则)
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- [非齐次线性方程组有解的判别条件](#非齐次线性方程组有解的判别条件)
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- [齐次线性方程组有非零解的判别条件](#齐次线性方程组有非零解的判别条件)
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- [齐次线性方程组的解结构](#齐次线性方程组的解结构)
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- [齐次线性方程组AX=0的解的性质](#齐次线性方程组ax0的解的性质)
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- [齐次线性方程组AX=0的基础解系](#齐次线性方程组ax0的基础解系)
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- [AX=0的解的结构](#ax0的解的结构)
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- [非齐次线性方程组AX=b的解的结构](#非齐次线性方程组axb的解的结构)
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- [非齐次线性方程组Ax=b的解的性质](#非齐次线性方程组axb的解的性质)
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- [非齐次线性方程组AX=b的解的结构](#非齐次线性方程组axb的解的结构-1)
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- [矩阵特征值和特征向量](#矩阵特征值和特征向量)
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- [特征值和特征向量](#特征值和特征向量)
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- [矩阵特征值和特征向量的定义](#矩阵特征值和特征向量的定义)
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- [特征值与特征向量的性质](#特征值与特征向量的性质)
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- [进一步延伸的公式](#进一步延伸的公式)
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- [矩阵对角化问题](#矩阵对角化问题)
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- [矩阵可对角化的定义](#矩阵可对角化的定义)
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- [矩阵可对角化的有关定理](#矩阵可对角化的有关定理)
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- [二次型](#二次型)
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- [二次型及其表示法](#二次型及其表示法)
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- [二次型定义](#二次型定义)
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- [二次型的矩阵表达式](#二次型的矩阵表达式)
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- [二次型的标准形与规范形](#二次型的标准形与规范形)
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- [惯性定理](#惯性定理)
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- [配方法化二次型为标准型](#配方法化二次型为标准型)
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- [正交变换法化实二次型为标准形](#正交变换法化实二次型为标准形)
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- [正定二次型及其判定](#正定二次型及其判定)
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- [正定二次型](#正定二次型)
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- [二次型正定的判定](#二次型正定的判定)
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</details>
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@ -1010,15 +1064,15 @@ $j\alpha = k(a_1,a_2,\cdots,a_n) = (ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$
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* 若向量组(I)$\cong$(II)，向量组(II)$\cong$(III),则向量组(I)$\cong$(III)
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#### 向量组的线性相(无)关性
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### 向量组的线性相(无)关性
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##### 线性相关性的定义
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#### 线性相关性的定义
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现有s个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$，若存在着一组不全为零的数组$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$成立，则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$是线性相关的向量组
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现有s个n维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$，若存在着一组不全为零的数组$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\not ={0}$成立,或若使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$成立，只有$k_1=0,k_2=0,\cdots,k_s=0$,则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$是线性无关的向量组
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##### 线性相关性判断定理
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#### 线性相关性判断定理
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* 判定定理1
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* s个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关（无关）的充要条件为对应的齐次线性方程组$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$有非零解（或只有零解）
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@ -1027,7 +1081,7 @@ $j\alpha = k(a_1,a_2,\cdots,a_n) = (ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$
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* 判定定理2
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* 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关（或无关）的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示（或没有一个向量可由其余向量线性表示）
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##### 一些重要定理与结论
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#### 一些重要定理与结论
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1. 包含零向量的向量组必定线性相关
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2. 包含两个相等向量的向量组必定线性相关
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@ -1038,4 +1092,225 @@ $j\alpha = k(a_1,a_2,\cdots,a_n) = (ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$
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7. 一个向量组线性相关，则在相同位置处去掉一个分量最后得到的新向量组（缩短组）仍线性相关
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8. 若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性无关，而$\beta,\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关，则$\beta$必可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$唯一地线性表示
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9. 设有向量组(I)$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$，向量组(II)$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$中每个向量都可由向量组(I)线性表示，且t>s,则向量组(II)必线性相关
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10. 若$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表示，且$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性无关，则t$\leq$s
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10. 若$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表示，且$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性无关，则t$\leq$s
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### 极大无关组与向量组的秩
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#### 极大无关组定义
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若向量组（I）$\alpha\_{i\_1},\alpha\_{i\_2},\cdots,\alpha\_{i\_m}$ 是向量组（II）$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$,且向量组（I）满足以下两个条件：
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1. 向量组（I）是线性无关的，
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2. 从向量组（II）中任取一个向量加到向量组（I）中都线性相关
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则称向量组（I）是向量组（II）的一个极大线性无关组，简称极大无关组
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#### 极大无关组的性质
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1. 一个向量组与它的任一个极大无关组之间可以互相线性表出（即等价）
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2. 一个向量组的任两个极大无关组之间也等价
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3. 一个向量组的任两个极大无关组所包含向量的个数必相等
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4. 设向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性表出，则r($\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$) $\leq$ r($\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$)
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5. 两个等价（即可以互相线性表出的向量组），其秩必相等
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#### 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
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* 三秩相等定理
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* 矩阵A的秩r(A)=A的列秩=A的行秩
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### 内积与施密特正交化
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#### 向量的内积
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##### 内积定义
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已知n维实向量
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$$
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\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T
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$$
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称
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$$
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(\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=\sum_{i=1}^n a_ib_i=\alpha^T\beta
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$$
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为向量$\alpha,\beta$的内积
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##### 内积性质
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###### 对称性
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$(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$
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###### 线性性
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$$
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(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)
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$$
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$$
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(k\alpha,\beta) = k(\alpha,\beta)
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$$
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###### 正定性
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对任意$\alpha \in R^n$,均有($\alpha,\alpha \geq 0$)，且$(\alpha,\alpha)=0 \iff \alpha=0$
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##### 向量的长度
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实数$|\alpha|=\sqrt{(\alpha,\alpha)} = \sqrt{\sum_{i-1}^n a_i^2}$称为向量$\alpha$的长度（或模）若|$\alpha$|=1，则称$\alpha$为单位向量，若$\alpha$不是单位向量则$\alpha$方向上的单位向量$\alpha_0 = \frac{1}{|\alpha|}\alpha$
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##### 两向量的夹角
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非零向量$\alpha$与$\beta$的夹角的余弦为
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$$
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\cos(\hat{\alpha,\beta})=\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha|\cdot |\beta|}
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$$
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若$(\alpha,\beta)=0(即\cos(\hat{\alpha,\beta})=0或\hat{\alpha,\beta}=\frac{\pi}{2})$,则称$\alpha与\beta正交$，记作$\alpha \bot \beta$
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#### 标准正交向量组
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##### 标准正交向量组定义
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有s个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\leq n)$若每一个向量都是非零向量，且每两个向量都正交，则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$为正交向量组
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正交向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$用内积表示为
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$$
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(\alpha_i,\alpha_j)=0(i,j=1,2,\cdots s;i\not ={j})且(\alpha_i,\alpha_i)(i=1,2,\cdots,s)
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$$
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注：正交向量组必线性无关
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每个向量都是单位向量的正交向量组称为标准正交向量组（或规范正交向量组），即
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$$
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(\alpha_i,\alpha_j) =
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\begin{cases}
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0, & 当i\not ={j}时 \\\\
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1, & 当i=j时
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\end{cases}
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$$
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##### 施密特正交化方法
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用施密特正交化方法可以将任意一组线性无关的向量组改造成为标准正交向量组（先正交化再单位化），若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是一组线性无关的向量组，令
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$$
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\beta_1 = \alpha_1
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$$
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$$
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\beta_2 = -\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 + \alpha_2
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$$
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$$
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\beta_3 = -\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 -\frac{(\alpha_2,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2 + \alpha_3,\cdots,
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$$
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$$
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\beta_n =\frac{(\alpha_n,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 -\frac{(\alpha_n,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2 - \cdots - \frac{(\alpha_n,\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_{n-1})}\beta_{n-1} + \alpha_n
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$$
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则$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$是一组两两正交的向量组
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再令
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$$
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\gamma_1 = \frac{\beta_i}{|\beta_i|}(i=1,2,\cdots,n),其中|\beta_i| = \sqrt{(\beta_i,\beta_i)}
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$$
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则$\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n$就是一组由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$改造成的标准正交向量组
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##### 正交矩阵
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若n阶实矩阵A满足$AA^T=A^TA=E$，则称A为正交矩阵（即$A^T=A^{-1}$）
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n阶矩阵A是正交矩阵的充要条件是
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A的n个列（行）向量两两正交，且每个列（行）向量都是单位向量（即A的列（行）向量组为$R^n$中的一组标准正交向量组）
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正交矩阵的行列式不是1就是-1，两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵
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## 线性方程组
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### 线性方程组的4种表示形式
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#### 一般表示式
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#### $\sum$记号表示式
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#### 矩阵表示方式
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#### 向量表示式
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### 线性方程组有解的判别条件
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#### 克莱姆法则
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#### 非齐次线性方程组有解的判别条件
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#### 齐次线性方程组有非零解的判别条件
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### 齐次线性方程组的解结构
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#### 齐次线性方程组AX=0的解的性质
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#### 齐次线性方程组AX=0的基础解系
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#### AX=0的解的结构
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### 非齐次线性方程组AX=b的解的结构
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#### 非齐次线性方程组Ax=b的解的性质
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#### 非齐次线性方程组AX=b的解的结构
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## 矩阵特征值和特征向量
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### 特征值和特征向量
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#### 矩阵特征值和特征向量的定义
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#### 特征值与特征向量的性质
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#### 进一步延伸的公式
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### 矩阵对角化问题
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#### 矩阵可对角化的定义
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#### 矩阵可对角化的有关定理
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## 二次型
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### 二次型及其表示法
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#### 二次型定义
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#### 二次型的矩阵表达式
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#### 二次型的标准形与规范形
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#### 惯性定理
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#### 配方法化二次型为标准型
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#### 正交变换法化实二次型为标准形
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### 正定二次型及其判定
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#### 正定二次型
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#### 二次型正定的判定
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