From dbca422155bad6891abf18a573ba8853157b2584 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: InkSoul Date: Fri, 18 Aug 2023 20:45:16 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=85=AC=E5=BC=8F=E5=A4=A7=E5=85=A8=E6=B7=BB?= =?UTF-8?q?=E5=8A=A0=E7=9F=A9=E9=98=B5=E7=9B=B8=E5=85=B3=E5=86=85=E5=AE=B9?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- content/mathematics/公式大全.md | 625 +++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 624 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/content/mathematics/公式大全.md b/content/mathematics/公式大全.md index eb78864..0b2cdd3 100644 --- a/content/mathematics/公式大全.md +++ b/content/mathematics/公式大全.md @@ -247,8 +247,631 @@ $ --- ## 矩阵 -### 矩阵定义 +### 矩阵定义与运算 +#### 矩阵定义 + +由m$\times$n个数$a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$排列成的m行n列的数表 + +$$ +\begin{vmatrix} + a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\\\ + a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\\\ + \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\ + a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\\ +\end{vmatrix} +$$ +称为m$\times$n矩阵，记为$A=(A_{ij})_{m\times n}$,其中a_{ij}称为矩阵A的第i行第j列的元素 + +1. 当n=m时，A也称为n阶方阵，|A|称为A的行列式 +2. 两个矩阵$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})_{s\times k}$,如果m=s，n=k，则称它们为同型矩阵 +3. 如果两个同型矩阵$A=a_{ij},B=(b_{ij}){ m \times n}$对应的元素相等，也即$a_{ij} = b_{ij}(i=1,\cdots,mj=1,\cdots,n)$,则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B + +常见的特殊矩阵： + +* 零矩阵，所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为$O$ +* 对角矩阵：主对角线以外的元素均为0的矩阵，称之为对角矩阵，即$$diag(a_1,a_2,\cdots,a_n) = \begin{pmatrix} + a_1 \\\\ + & a_2 \\\\ + & & \vdots \\\\ + & & & a_n +\end{pmatrix}$$两个对角矩阵的乘积仍是对角矩阵 +* 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称之为单位矩阵，记作E。单位矩阵与任何矩阵相乘都可以交换，即$$EA=AE=A$$ +* 上（下）三角矩阵，主对角线以下的元素全为0的矩阵称之为上三角矩阵，主对角线以上的元素全为0的矩阵称为下三角矩阵 +* 对称矩阵：满足条件$A^T = A$的n阶矩阵A称为对称矩阵，即A为对称矩阵$\iff a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n)$ +* 反对称矩阵：满足条件$A^T=-A$的n阶矩阵A称为反对称矩阵，即$A=(a_{ij})_{ n\times n }(i,j=1,2,\cdots,n)$ +* 正交矩阵：设A是n阶矩阵，如果$AA^T = A^TA=E$，则称A是正交矩阵 + +#### 矩阵运算 + +##### 矩阵加法(两个相加的矩阵必须同型) + +设$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$是两个$m\times n$矩阵，定义矩阵$C=(c_{ij}) = (a_{ij}+b_{ij})$为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B + +* 运算性质 + * A+B=B+A（交换律） + * (A+B)+C = A+(B+C)（结合律） + * A + O = A（其中$O=(0)_{m\times n}$ + * A + (-A) = $O$（其中$-A = (-a_{ij})_{m\times n}$ + +##### 矩阵的数乘 + +设$A=(a_{ij})$是一个$m\times n$矩阵，k为任意实数，则定义$kA = (ka_{ij})(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$为矩阵的数乘 + +* 运算性质 + * $k(lA) = (kl)A = l(kA)(k,l为数)$ + * $(A+B)+C=A+(B+C)$ + * $k(A+B) = KA+KB$ + * $(k+l)A = KA+A$ + + +##### 矩阵的乘法 + +设 + +$A=(a_{ij})_{m \times n}$ + +$B=(b_{ij})_{n \times k}$ + +定义矩阵$C=(c_{ij})_{m\times k}$,其中 + +$c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}+b_{nj}=\sum^n_{k=1}a_{ik}b_{kj}$ + +称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB + +* 数乘的运算性质 + * (AB)C = A(BC) + * A(B+C) = AB+AC + * (B+C)A = BA+CA + * (KA)B = A(KB) = K(AB) + +注： + +1. 两个相乘的矩阵AB必须保证A的列数和B的行数相等 +2. 矩阵乘法一般不满足交换律，AB$\not ={BA}$ +3. 矩阵的运算不满足消去律，即由AB=AC且A$\not ={O}$得不出B=C +4. 零因子定律不成立，即由AB=O不能得到A=O或B=O +5. + +##### 方阵的乘幂运算 + +如果矩阵A为方阵，则定义$A^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n个A}$为矩阵A的n次幂，规定$A^0 = E$ + +* 运算性质 + * $A^K \cdot A^l = A^{k+l}$ + * $(A^k)^l = A^{kl}$ + * 一般情况下，$(A \cdot B)^k \not ={A^k \cdot B^k}$ + + +##### 矩阵的转置 + +设$A_{m \times n}=\begin{bmatrix} + a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ + a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ + a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} +\end{bmatrix}_{m \times n}$ + +定义A的转置矩阵为 + +$A^T=\begin{bmatrix} + a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\\\ + a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ + a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} +\end{bmatrix}_{m \times n}$ + +即转置矩阵$A^T$的第i行第j行元素等于原矩阵A的第j行第i列元素 + +* 运算规则 + * $(A^T)^T = A$ + * $(A+B)^T = A^T+B^T$ + * $(AB)^T = B^TA^T$ + * $(kA)^T = k \cdot A^T$ + +##### 方阵的行列式 + +若 + +$A=(a_{ij})_{m \times n}$ + +$B=(b_{ij})_{n \times k}$ + +则 + +$|A|=\begin{vmatrix} + a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\ + a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ + a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} +\end{vmatrix}$ + +且$|kA|=k^n|A|,|AB|=|A||B|$ + +##### 矩阵的求逆运算 + +###### 逆矩阵定义定理 + +若AB均为n阶方阵，且满足AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，又称B是A的逆矩阵，记作$B=A^{-1}$ + +1. 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵$A^{-1}$是唯一的 +2. 矩阵A可逆的充分必要条件是$|A|\not ={0}$ +3. 若$|A|\not ={0}$,则$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* $,其中$$A^*=\begin{bmatrix} + A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\\\ + A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\\\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ + A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} +\end{bmatrix}$$称为A的伴随矩阵（其中$A_{ij}$是元素$a_{ij}的代数余子式$） +4. 由 $A^*$ 构造可得公式 $AA^ * = A^*A=|A|E$ + +###### 运算规则 + +若AB均为n阶可逆矩阵 + +1. $(A^{-1})^{-1}=A$ +2. 若$k\not ={0}$为常数，则 $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ +3. $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ +4. $A^T$也可逆，且 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^{T}$ +5. $|A^{-1}|=|A|^{-1}$ + +### 矩阵的秩 + +#### k阶子式的定义 + +在$A_{m\times n }$中，任取k行、k列，在这k行k列的交错处有$k^2$个元素，这$k^2$个元素按原有的次序构成一个k阶行列式，称为A的一个k阶子式 + +#### 矩阵的秩的定义 + +在$A_{m\times n }$中，至少有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，则称A的秩的位r，记作rank(A) = r，简记为r(A) = r或R(A)=r + +#### 矩阵在运算后秩的变化规律 + +1. $r(A^T)=r(A)$ +2. $r(A_{m \times n}) \leq \min{(m,n)}$ +3. $r(A)=0\iff A=O$ +4. $r(kA) = \begin{cases} + r(A),k\not = 0 \\\\ + 0,k=0 +\end{cases}$ +5. $r(A+B)\leq r(A) + r(B)$ +6. $R(A+B) \leq \min{(r(A),r(B))}$ +7. 若有矩阵$A_{m\times n},B_{n \times s}$且$AB=O$,则$r(A)+r(B) \leq n$ +8. 若PQ为满秩方阵，则$r(PA) = r(A) = r(AQ)=r(PAQ)$ +9. 初等变换不改变矩阵的秩，若B式阶梯型矩阵，则r(B)等于B中非零行的个数 +10. 伴随矩阵$A^* $的秩 +$r(A^*) = \begin{cases} + n,r(A) = 0 \\\\ + 1,r(A) = n-1 \\\\ + 0,r(A) \leq n-2 +\end{cases}$ + +### 分块矩阵 + +#### 分块矩阵定义 + +用贯穿矩阵的横线和纵线把一个矩阵分为若干小块，每个小块称为原矩阵的子块，一般记作$A_{ij}$,分成字块的矩阵叫做分块矩阵， + +$$ +A= +\left[ +\begin{array}{cc:cc} + a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\ + a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\ + \hdashline a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\ + a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} +\end{array} +\right] = +\begin{bmatrix} + A_{11} & A_{12} \\\\ + A_{21} & A_{22} +\end{bmatrix}_{2\times 2} = +(A\_{ij})\_{2 \times 2} +$$ + +$$ +A= +\left[ +\begin{array}{c:c:c:c} + a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\ + a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\ + a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\ + a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} +\end{array} +\right] =(p_1,p_2,p_3,p_4)\_{1 \times 4} +$$ + +#### 分块矩阵的运算 + +##### 加法 + +A,B$\in M_{m,n}$且有相同的分块划分方法$A=(A\_{ij})\_{s\times t},B=(B\_{ij})\_{s\times t}$则$A+B=(A_{ij}+B_{ij})\_{s \times t}$(每个对应字块可以相加) + +##### 数乘 + +设$A=(A\_{ij})\_{s\times t}$则$kA=(kA\_{ij})\_{s \times t}$ + +##### 转置 + +若 + +$$ +A= +\begin{bmatrix} + A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\\\ + A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\\\ + \vdots & \vdots & &\vdots \\\\ + A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{st} +\end{bmatrix} +$$ + +则 +$$ +A^T= +\begin{bmatrix} + A^T_{11} & A^T_{21} & \cdots & A^T_{s1} \\\\ + A^T_{12} & A^T_{22} & \cdots & A^T_{s2} \\\\ + \vdots & \vdots & &\vdots \\\\ + A^T_{1s} & A^T_{2s} & \cdots & A^T_{st} +\end{bmatrix} +$$ + +即分块矩阵先转置后，再将每个子矩阵分别单独转置 + +##### 乘法 + +$$ +A= +\begin{bmatrix} + A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\\\ + A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\\\ + \vdots & \vdots & &\vdots \\\\ + A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{st} +\end{bmatrix} = +(A\_{ij})\_{s\times t} \in M\_{m \times n} +$$ +$$ +B= +\begin{bmatrix} + B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r} \\\\ + B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r} \\\\ + \vdots & \vdots & &\vdots \\\\ + B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr} +\end{bmatrix} = +(B\_{jK})\_{t\times r} \in M\_{m \times n} +$$ + +$$ +C=AB = +\begin{bmatrix} + C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1r} \\\\ + C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2r} \\\\ + \vdots & \vdots & &\vdots \\\\ + C_{s1} & C_{s2} & \cdots & C_{sr} +\end{bmatrix} +$$ + +其中$C_{ik} = A_{i1}B{1k} + A_{i2}B_{2k}+\cdots + A_{it}B_{tk} = \sum^t_{j=1}A_{ij}B_{jk}(i=1,\cdots,s;k=1,\cdots,r)$ + +#### 分块对角形（对角块）矩阵 + +一般地，分块矩阵$A=\begin{bmatrix} + A_{11} & O & \cdots & O \\\\ + O & A_{22} & \cdots & O \\\\ + \vdots & \vdots & &\vdots \\\\ + O & O & \cdots & A_{ss} +\end{bmatrix}$ + +简记为$A=\begin{bmatrix} + A_{11} & & & \\\\ + & A_{22} & & \\\\ + & & \ddots & \\\\ + & & & A_{ss} +\end{bmatrix}$其中$A_{ij}$均为小方阵，则称A为对角块矩阵或分块对角形矩阵，若AB均为对角块矩阵，则A+B，AB也为对角块矩阵 + +$A+B = +\begin{bmatrix} + A_{1} & & & \\\\ + & A_{2} & & \\\\ + & & \ddots & \\\\ + & & & A_{s} +\end{bmatrix} + +\begin{bmatrix} + B_{1} & & & \\\\ + & B_{2} & & \\\\ + & & \ddots & \\\\ + & & & B_{s} +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} + A_{1}+B_{1} & & & \\\\ + & A_{2}+B_{2} & & \\\\ + & & \ddots & \\\\ + & & & A_{s}+B_{s} +\end{bmatrix} +$ + +$A_i,B_i$为同阶子矩阵 + +$AB = +\begin{bmatrix} + A_{1} & & & \\\\ + & A_{2} & & \\\\ + & & \ddots & \\\\ + & & & A_{s} +\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} + B_{1} & & & \\\\ + & B_{2} & & \\\\ + & & \ddots & \\\\ + & & & B_{s} +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} + A_{1}B_{1} & & & \\\\ + & A_{2}B_{2} & & \\\\ + & & \ddots & \\\\ + & & & A_{s}B_{s} +\end{bmatrix}$ + +对角块矩阵的逆矩阵公式（设$A_1,A_2,A_3$均可逆） + +$$\begin{bmatrix} + A_{1} & & & \\\\ + & A_{2} & & \\\\ + & & & A_{3} +\end{bmatrix}^{-1} = +\begin{bmatrix} + A_{1}^{-1} & & & \\\\ + & A_{2}^{-1} & & \\\\ + & & & A_{3}^{-1} +\end{bmatrix} +$$ +$$ +\begin{bmatrix} + & & & A_{1} \\\\ + & A_{2} & & \\\\ + A_{3} & & & +\end{bmatrix}^{-1} = +\begin{bmatrix} + & & & A_{1}^{-1} \\\\ + & A_{2}^{-1} & & \\\\ + A_{3}^{-1} & & & +\end{bmatrix} +$$ + +### 矩阵初等变换与初等矩阵 + +#### 初等行（列）变换 + +对矩阵施加三种行（列）变换 + +1. 交换变换：互换矩阵中的某两行（列） +2. 倍乘变换：用一个非零常数k乘矩阵的某行（列） +3. 倍加变换：将矩阵的某行（列）的k倍加到另一行（列）上 + +#### 阶梯形矩阵 + +形如 + +$$ +\begin{bmatrix} + 0 & 1 & 3 \\\\ + 0 & 0 & 2 \\\\ + 0 & 0 & 0 +\end{bmatrix}, +\begin{bmatrix} + 1 & 2 & -1 & 2 & 5 \\\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ + 0 & 0 & 0 & 4 & 1 +\end{bmatrix}, +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -1 \\\\ + 0 & 2 & 3 \\\\ + 0 & 0 & 3 +\end{bmatrix} +$$ + +的矩阵称为阶梯形矩阵 + +特征： + +1. 全零行位于矩阵的最下方 +2. 每个非零行的第一个非零元素$c_{ij}$（主元）的列标j随着行标i的递增而严格增大 +3. 任一个矩阵经过若干次初等行（列）变换都可以化成阶梯形矩阵 + +#### 初等矩阵 + +单位矩阵做了一次初等行（列）变换的矩阵 + +##### 初等行交换矩阵 + +将单位矩阵的第i行，第j行交换后得到的矩阵，记作 + +$$ +p((i)\leftrightarrow(j)) = \begin{bmatrix} + 1 & & & \\\\ + & \ddots & & \\\\ + & & 0 &\cdots & 1 & &\\\\ + & &\vdots & &\vdots & & \\\\ + & & 1 & \cdots & 0 & & \\\\ + & & & & & \ddots \\\\ + & & & & & & 1 +\end{bmatrix} +$$ + +作用：将初等行变换矩阵左乘A，即$p((i)\leftrightarrow(j))A=A_1$,A_1就是将A的第i行、第j行交换后的结果 + +##### 初等行倍乘矩阵 + +将单位矩阵的第i行乘以不为零的常数k后所得到的矩阵，记 + +$$ +P((k(i))) = \begin{bmatrix} + 1 & \\\\ + & \ddots \\\\ + & & k \\\\ + & & & \ddots \\\\ + & & & & 1 +\end{bmatrix} +$$ + +作用：若$P(k(i))A = A_2$，则$A_2$就是将A的第i行乘上k倍后的结果 + +##### 初等行倍加矩阵 + +将单位矩阵第i行的k倍加到第j行后所得到的矩阵，记作 + +$$ +P(k(i)+(j)) = \begin{bmatrix} + 1 \\\\ + & \ddots \\\\ + & & 1 \\\\ + & & \vdots & \ddots \\\\ + & & k & \cdots & 1 \\\\ + & & & & & \ddots \\\\ + & & & & & & 1 +\end{bmatrix} +$$ + +作用：若$P(k(i)+(j))A = A_3$,则$A_3$就是将A的第i行的k倍加到第j行上的结果 + +##### 初等列交换矩阵 + +将单位矩阵第i行与第j列交换后所得到的矩阵，记作 + +$$ +Q((i)\leftrightarrow(j)) = \begin{bmatrix} + 1 & & & \\\\ + & \ddots & & \\\\ + & & 0 &\cdots & 1 & &\\\\ + & &\vdots & &\vdots & & \\\\ + & & 1 & \cdots & 0 & & \\\\ + & & & & & \ddots \\\\ + & & & & & & 1 +\end{bmatrix} +$$ + +作用：将初等列交换矩阵右乘A，即若$AQ((i)\leftrightarrow(j))=A_4$则$A_4$就是将A的第i列与第j列交换后的结果 + +##### 初等列倍乘矩阵 + +将单位矩阵的第i列乘以一个不等于零的常数k后得到的矩阵，记作 + +$$ +Q((k(i))) = \begin{bmatrix} + 1 & \\\\ + & \ddots \\\\ + & & k \\\\ + & & & \ddots \\\\ + & & & & 1 +\end{bmatrix} +$$ + +作用：若$AQ(k(i)) = A_5$，则$A_5$就是将A的第i列乘上k倍后的结果 + +##### 初等列倍加矩阵 + +将单位矩阵的第i列的k倍加到第j列后得到的矩阵，记作 + +$$ +Q((i)+(j)) = \begin{bmatrix} + 1 & & & \\\\ + & \ddots & & \\\\ + & & 1 &\cdots & k & &\\\\ + & & & \ddots &\vdots & & \\\\ + & & & & 1 & & \\\\ + & & & & & \ddots \\\\ + & & & & & & 1 +\end{bmatrix} +$$ + +作用：若$AQ(k(i)+(j)) = A_6$则$A_6$就是将A的第i列的k倍加到第j列上的结果 + +#### 初等行变换与初等列变换矩阵的关系 + +1. $P((i)\leftrightarrow(j))=Q((i)\leftrightarrow(j))=Q^T((i)\leftrightarrow(j))$ +2. $P(k(i))=Q(k(i))=Q^T(k(i))$ +3. $P(k(i)+(j))=Q^T(k(i)+(j))$ + +即：初等行变换矩阵与同类型的初等列变换矩阵之间为转置关系 + +#### 定理 + +1. 初等矩阵都是可逆矩阵 +2. 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵 +3. 任一个可逆矩阵经过有限次的初等行变换都可以化成单位矩阵 +4. 一个可逆矩阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积 + +#### 初等行（列）变换法求矩阵的秩 + +初等行（列）变换不改变矩阵的秩 + +矩阵的初等行（列）变换前后，矩阵的秩是相等的，而阶梯形矩阵的秩等于阶梯形矩阵中非零行的个数，有任一个矩阵都可经过若干次初等行（列）变换成阶梯型矩阵，因此任一个矩阵的值都可以通过初等行（列）变换成阶梯形矩阵后方便地取得 + +#### 矩阵关系 + +##### 等价 + +* 定义 + * 若矩阵A可以经过一系列初等行（列）变换后化成矩阵B，则称矩阵AB是等价的，记作$A\cong B$ +* 性质 + * $A \cong A$ + * $A\cong B$则$B \cong A$ + * $A\cong B,B \cong C 则 A\cong C$ + * 同型矩阵A与B等价$\iff r(A)=R(B)$ + + +##### 相似 + +* 定义 + * 对于同阶方阵A,B，若存在$|P|\not ={0}$，使$P^{-1}AP=B$,则称A与B相似，记作$A\backsim B$ +* 性质 + * $A\backsim B$ + * $A\backsim B$,则$B \backsim A$ + * $A\backsim B,B \backsim C$则$A \backsim C$ + * 若$A\backsim B$则$A^T\backsim B^T$ + * 若AB可逆且$A\backsim B$，则$A^{-1}\backsim B^{-1}$ + * $A\backsim B \Rightarrow A^n \backsim B^n$，n为正整数 + * 相似矩阵右相同的特征值 + * 相似矩阵的行列式、秩相等 + * 同阶实对称矩阵相似的充要条件是它们有相同的特征值 + +##### 合同 + +* 定义 + * 对于同阶方阵AB，若存在$|P|\not ={0}$,使$P^TAP=B$则称A与B合同，记为$A\cong B$ +* 性质 + * $A \cong A$ + * $A\cong B$则$B \cong A$ + * $A\cong B,B \cong C 则 A\cong C$ + * 同阶实对称矩阵合同的充要条件是秩相等且正惯性指数相等 + + +#### 矩阵等价、相似、合同的关系 + +* 相似$\iff$等价 +* 合同$\iff$等价 +* 若A与B都是实对称矩阵，则A与B相似$\iff$A与B合同 + +#### 矩阵特征值与特征向量 + +* 定义 + * 若存在非零向量$\alpha$，使$A \alpha = \lambda \alpha$,则称$\lambda$为方阵A的特征值，$\alpha$是A的属于特征值$\lambda$的特征向量 +* 性质 + * 若$\lambda$是A的特征值，则$\lambda^k$是$A^k$的特征值 + * 若$\lambda \not ={0}$是A的特征值，则$\lambda^{-1}$是$A^{-1}$的特征值 + * 若$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是A的特征值，则$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$(A的迹)$$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|$$ + * A与$A^T$有相同的特征值 + * 矩阵A属于不同特征值的特征向量必线性无关 + * 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交 + +#### 矩阵可逆的充要条件 + +A可逆$\iff$|A|$\not ={0} \iff A=P_1P_2\cdots P_l，$其中$P_i$(i=1,2,$\cdots$,l)为初等矩阵$$\iff A \backsim E(E为n阶单位矩阵)$$ + +#### 矩阵等价的充要条件 + +$A\cong B \iff$存在可逆矩阵P,Q使PAQ=B$\iff$r(A) = r(B) + +--- ## 向量