完成《线性代数》叉乘

content/mathematics/《线性代数》叉乘.md

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+title: "《线性代数》叉乘"
+date: 2023-08-10T13:35:34+08:00
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+
+**本文的论述中将向量写作矩阵的列，与教科书中将向量写作矩阵的行不同，由于转置不改变行列式的值，在本文中出于直观考虑按列处理向量不会改变结果**
+
+## 叉乘的标准描述
+
+已知两个向量$\vec{V}$和$\vec{W}$，考虑它们所张成的平行四边形，此时$\vec{V}$和$\vec{W}$的叉乘($\vec{V}\times\vec{W}$)就是这个平行四边形的面积
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%8F%89%E4%B9%98/%E5%8F%89%E4%B9%98%E6%96%B9%E5%90%91%E6%80%A7.gif)
+
+叉乘是顺序强相关的计算，计算顺序与方向或叉乘值的正负相关，顺序交换后通常叉乘的值相反
+
+记忆顺序的方法
+
+将按序求两个基向量的叉乘（$\hat{i}\times\hat{j}$）记为正的，实质上叉乘的正方向定义就是基向量叉乘的方向
+
+如下图中，由于$\vec{V}$在$\vec{W}$的左侧，与基向量相反，所以叉乘的值就是负的
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%8F%89%E4%B9%98/%E8%B4%9F%E5%8F%89%E7%A7%AF%E4%B8%BE%E4%BE%8B.png)
+
+### 叉乘的计算
+
+如果看过之前有关行列式的[文章](https://inksoul.top/mathematics/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/)就能注意到
+
+行列式与叉乘在几何的表示有些类似
+
+* 叉乘
+  * 两个向量所张成的平面
+* 行列式
+  * 两个向量在线性变换后构成的平行四边形与基向量构成的正方形的面积比例
+
+#### 二维向量
+
+
+
+$$
+\vec{V}\times\vec{W} = 
+\begin{bmatrix}
+    -3 \\\\
+    1
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+    2 \\\\
+    1
+\end{bmatrix} = det(\begin{bmatrix}
+    -3 & 2 \\\\
+    1 & 1
+\end{bmatrix}) = -3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = -5
+$$
+
+即将第一个乘数作为第一列，第二个乘数作为第二列构成一个矩阵然后计算这个矩阵的行列式
+
+本质是构成的矩阵记录了将基向量$\hat{i}$和$\hat{j}$移至$\vec{V}$和$\vec{W}$的线性变换，行列式便度量了变换前后的面积变换比例，即此时的行列式的值就是平行四边形的面积就是叉乘的值，当然变换后的$\vec{V}$在$\vec{W}$的左侧，叉乘的值为负值
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%8F%89%E4%B9%98/%E4%BA%8C%E7%BB%B4%E5%8F%89%E4%B9%98%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%BE%8B%E5%AD%90.png)
+
+当两个向量垂直或是越趋近于垂直时，平行四边形的面积越大，叉乘的值越大，越趋近于同向，平行四边形越小，叉乘值越小
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%8F%89%E4%B9%98/%E6%96%B9%E5%90%91%E4%B8%8E%E5%8F%89%E4%B9%98%E5%85%B3%E7%B3%BB.gif)
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%8F%89%E4%B9%98/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BC%A9%E6%94%BE%E4%B8%8E%E5%8F%89%E4%B9%98%E7%9A%84%E5%85%B3%E7%B3%BB.gif)
+
+### 三维向量
+
+叉乘：两个三维向量生成第三个三维向量垂直于前两个三维向量所构成的面
+
+方向则由右手定则定义
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%8F%89%E4%B9%98/%E4%B8%89%E7%BB%B4%E5%8F%89%E4%B9%98%E8%AE%A1%E7%AE%97.gif)
+
+计算公式
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    v_1 \\\\
+    v_2 \\\\
+    v_3 
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+    w_1 \\\\
+    w_2 \\\\
+    w_3
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    v_2 \cdot w_3 - w_2 \cdot v_3 \\\\
+    v_3 \cdot w_1 - w_3 \cdot v_1 \\\\
+    v_1 \cdot w_2 - w_1 \cdot v2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+为了便于记忆，可以使用以下三阶行列式来计算
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    v_1 \\\\
+    v_2 \\\\
+    v_3 
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+    w_1 \\\\
+    w_2 \\\\
+    w_3
+\end{bmatrix} = det(
+\begin{bmatrix}
+    \hat{i} & v_1 & w_1 \\\\
+    \hat{j} & v_2 & w_2 \\\\
+    \hat{k} & v_3 & w_3
+\end{bmatrix}) =
+\hat{i}(v_2w_3 - v_3w_2)+\hat{j}(v_3w_1 - v_1w_3) + \hat{k}(v_1w_2 - v_2w_1)
+$$
+
+此时第一列是三维空间的基向量作为矩阵元,在符号上只需要认为括号中的线性组合所决定的向量是唯一与$\vec{V}$和$\vec{W}$垂直长度为$\vec{V}$和$\vec{W}$围成的平行四边形的面积且遵循右手定则的向量
+
+
+由上述公式我们能推导一个线性函数，
+
+$$
+f(\begin{bmatrix}
+    x \\\\
+    y \\\\
+    z 
+\end{bmatrix}) = 
+det(
+\begin{bmatrix}
+    x & v_1 & w_1 \\\\
+    y & v_2 & w_2 \\\\
+    z & v_3 & w_3
+\end{bmatrix})
+$$
+
+由于该函数是线性的，意味着可以用矩阵乘法来描述，可以用一个1$\times$3矩阵来表示这个变换
+
+而对于多维空间到一维空间的变换，可以进行转置，将横着的矩阵竖起来，变成如下样子，将变换视为与这个特定向量的点积而不影响结果
+
+
+
+$$
+\overbrace{\begin{bmatrix}
+    P_1 \\\\
+    P_2 \\\\
+    P_3
+\end{bmatrix}}\vec{P} \cdot
+\begin{bmatrix}
+    x \\\\
+    y \\\\
+    z 
+\end{bmatrix} = 
+det(
+\begin{bmatrix}
+    x & v_1 & w_1 \\\\
+    y & v_2 & w_2 \\\\
+    z & v_3 & w_3
+\end{bmatrix})
+$$
+
+此时问题演变为，寻找向量P，使得其与任一向量的点积等于一个第一列为该向量的3$\times$3矩阵的行列式，其余则分别为V和W的坐标
+
+计算意义
+
+上式能进一步整理为为
+
+$P_1\cdot X + P_2 \cdot Y + P_3 \cdot Z =\\\\  X(v_2w_3 - v_3w_2) +\\\\ Y(v_3w_1 - v_1w_3) +\\\\  Z(v_1w_2 - v_2w_1)$
+
+由于常数涉及V和W坐标的特点组合，可以进一步认为这些就是P的坐标
+
+$$
+P_1 = v_2w_3 - v_3w_2 \\\\
+P_2 = v_3w_1 - v_1w_3 \\\\
+P_3 = v_1w_2 - v_2w_1
+$$
+
+
+这些计算流程与前面将基向量放进矩阵第一列计算然后合并各项系数没有区别，插入基向量只是为了提醒我们应将系数认为是一个向量的坐标
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    v_1 \\\\
+    v_2 \\\\
+    v_3 
+\end{bmatrix}
+\times
+\begin{bmatrix}
+    w_1 \\\\
+    w_2 \\\\
+    w_3
+\end{bmatrix} = det(
+\begin{bmatrix}
+    \hat{i} & v_1 & w_1 \\\\
+    \hat{j} & v_2 & w_2 \\\\
+    \hat{k} & v_3 & w_3
+\end{bmatrix}) =
+\hat{i}(v_2w_3 - v_3w_2)+\hat{j}(v_3w_1 - v_1w_3) + \hat{k}(v_1w_2 - v_2w_1)
+$$
+
+上述方法的几何解释
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%8F%89%E4%B9%98/%E5%87%A0%E4%BD%95%E8%A7%A3%E9%87%8A.gif)

content/mathematics/公式大全.md

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 $j\alpha = k(a_1,a_2,\cdots,a_n) = (ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$
 
 #### 线性组合与线性表出
+
+##### 向量组的线性组合
+
+有一组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$及一组数$k_1,k_2,\cdots,k_s$称$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$的一个线性组合
+
+##### 线性表出（线性表示）
+
+若向量$\beta$可表示为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$的一个线性组合，即有$k_1,k_2,\cdots,k_s$存在，使$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$$成立，则称向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表出（线性表示）
+
+1. 一个向量$\beta$能否由一个向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表示，等价于以$k_1,k_2,\cdots,k_s$为未知量的的线性方程组$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$是有解还是无解
+2. 若$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表示，其表现形式是唯一且是无穷多种形式，等价于线性方程组$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$在有解时值有唯一解且是无穷多组解
+
+
+##### 向量组的等价
+
+若向量组（I）$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$中每一个向量$\alpha_j(j = 1,2,\cdots,s)$均可由向量组(II)$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性表示，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示
+
+若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，向量组(II)也由向量组(I)线性表示，则称向量组(I)也于向量组(II)为等价向量组，记作：(I)$\cong$(II)
+
+向量组的等价存在以下性质：
+
+* 自反性
+  * 任一个向量组于自身必等价
+* 对称性
+  * 若向量组(I)$\cong$(II)，则(II)$\cong$(I)
+* 传递性
+  * 若向量组(I)$\cong$(II)，向量组(II)$\cong$(III),则向量组(I)$\cong$(III)
+
+
+#### 向量组的线性相(无)关性
+
+##### 线性相关性的定义
+
+现有s个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$，若存在着一组不全为零的数组$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$成立，则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$是线性相关的向量组
+
+现有s个n维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$，若存在着一组不全为零的数组$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\not ={0}$成立,或若使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$成立，只有$k_1=0,k_2=0,\cdots,k_s=0$,则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$是线性无关的向量组
+
+##### 线性相关性判断定理
+
+* 判定定理1
+  * s个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关（无关）的充要条件为对应的齐次线性方程组$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$有非零解（或只有零解）
+  * 推论
+    * n个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关（无关）的充要条件是行列式$|A|=|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|=0(或\not ={0})$
+* 判定定理2
+  * 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关（或无关）的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示（或没有一个向量可由其余向量线性表示）
+
+##### 一些重要定理与结论
+
+1. 包含零向量的向量组必定线性相关
+2. 包含两个相等向量的向量组必定线性相关
+3. 若一个向量组线性相关，则加上任意多个向量后，新加向量组仍线性相关（部分相关，全体必相关）
+4. 一个向量组线性无关，取出其中任何一部分也必线性无关（全体无关，部分必无关）
+5. 任意n+1个n维向量必线性相关（个数大于维数的向量组必线性相关）
+6. 一个向量组线性无关，则在相同位置出增加一个分量后得到的新向量组（可称加长组）仍线性无关
+7. 一个向量组线性相关，则在相同位置处去掉一个分量最后得到的新向量组（缩短组）仍线性相关
+8. 若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性无关，而$\beta,\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关，则$\beta$必可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$唯一地线性表示
+9. 设有向量组(I)$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$，向量组(II)$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$中每个向量都可由向量组(I)线性表示，且t>s,则向量组(II)必线性相关
+10. 若$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表示，且$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性无关，则t$\leq$s

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