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title: "双向反射分布函数(BRDF)"
date: 2022-07-23T15:05:33+08:00

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### 光的反射


对于在某一点上发生的反射，我们通常认为：

* 光进来打到了一个物体，被弹走后，改变了方向
* 光线打到了某个物体表面后被吸收，再从物体表面将吸收的能量辐射出去


#### 通过Radiance 和 Irradiance 来解释

从某个立体角($\omega$)来的Radiance会打在dA上，在dA上转换成能量，并以光的形式辐射到另一个方向上去(dLr),即表现为出去的Radiance

![](../../images/reflaction_radiance_irradiance.png)

对于dA来说，其接收到的能量只考虑某一方向下立体角的Radiance,在投影后就可以计算dA接收到的Irradiance,Irradiance又会转换成Radiance反射出去


出于描述dA从某个方向接收到能量后向某一方向辐射的能量值的目的，我们定义了双向反射分布函数(BRDF)


### Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF)

BRDF描述了dA表面是如何把一个方向收集到的能量反射到另一个方向去(定义收集到的能量如何如何往各个方向去分配(漫反射还是镜面反射))

![](../../images/BRDF_define.png)

镜面反射下，反射出去的方向上分布了所有能量

漫反射下，吸收的能量会被均等的分配到各个不同的出射方向上去

BRDF本质上描述了光线和物体是如何作用的，因而BRDF项也定义了物体的不同材质

### 反射方程(The Reflection Equation)

反射方程定义的是任意着色点，在不同的光照下，我们考虑任意一个输入的光照的入射方向对出射方向的贡献，并累加所有入射方向的贡献

![](../../images/the_reflection_equation.png)

公式解释：

考虑任一不同方向的Radiance到图示的点，再通过BRDF的计算，可以得到出射的Radiance

存在问题：

从某个方向观察着色点意味着需要考虑所有到达这个着色点的光线，在光线弹射次数大于一次的情况下，能到达着色点的光线并非只有光源，还可能有其他面反射过来的光线(一个面接收光源照射后反射的Radiance还能够照亮其他面，产生递归问题)


### 渲染方程(The Rendering Equation)

渲染方程在反射方程上考虑了物体自发光的情况，提高了通用性，几乎所有物体表面的光线传播都可以使用下列公式来总结

$$L_o(p,w_o) = L_e(p,w_o) + \int_{\Omega+} {L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w_i)dw_i}$$

* 渲染方程与Blinn-Phong模型都假设所有方向向外(考虑所有入射来的方向为球心向整个半球的各个方向)
* $\Omega +$和反射方程中的$H^2$都表示半球


#### 帮助理解渲染方程

反射方程：

* 对于一个点光源，反射方程描述Li进来经过BRDF反射到观察方向上去的能量

![](../../images/understanding_flection_equation1.png)

* 如果有多个光源，就累加计算每个点光源光线到这个点反射到观测方向上的能量值

![](../../images/understanding_reflection_equation2.png)

* 如果有一个面光源(一堆点光源的集合)，则将面光源上任意一个点的贡献积分起来

![](../../images/understanding_reflection_equation3.png)

渲染方程：

* 在考虑其他物体反射过来的光时，可以将反射面视为光源，由于渲染方程假设所有方向都是向外的，所以从x点指向反射面就要变成负的

![](../../images/understanding_rendering_equation1.png)

该点向某一观察方向辐射出去的Radiance是依赖于其他点辐射出去的Radiance，即为递归过程


递归的另一用处：简化方程

在某个方向看向一点时，我们不知道看到的能量(Lr)、从其他反射到这一点的Radiance，但其他项都已知，可定义物体的不同材质(diffuse、gloss、specular)

![](../../images/rendering_equation_simplify.png)

可利用数学上的一些简单表达式进行简化

$$I(u) = e(u) + \int {I(v) k(u,v)dv}$$

I: 从两个不同位置(u,v表示)辐射出去的Radiance，

e：着色点自己发出的能量在加上从其他物体表面反射来的Radiance反射到该着色点后有多少能量辐射到观察方向

$k(u,v)dv$ : 方程核心


进一步简化：

将BRDF和积分写成某种操作符(算子)后简化为下列式子，

$$L = E +KL$$

所有物体辐射出的所有能量 = 所有光源辐射出来的能量加上辐射出来的能量被反射后的能量

解渲染方程 ：

* 将KL移至方程左侧，L写成单位矩阵*L的形式
* 将(I-k)移至右侧
* 计算(1-K)的逆即可解出L的值

$$L = E + KL$$
$$IL - KL = E$$
$$(I - K)L = E$$
$$L = (I - K )^{-1}E$$

算子本身具有类似泰勒展开的性质

$$L = (I + K + K^2 + K^3 + \ldots)E$$
$$ L = E +KE+ K^2E +K^3E + \ldots $$

可看做：

光源直接辐射(E)，加上经过一次反射后的辐射(KE)，加上经过两次反射后的辐射(k^2E)

即分解了光线传播过程的弹射次数


### 全局光照(global illumination)

光线弹射一次得到为直接光照，弹射两次及以上为间接光照，所有光线弹射次数的项加起来的结果为全局光照(直接光照+间接光照)

#### 实例-光栅化

光栅化在已知着色点与光源位置的情况下便可以做着色，着色实际为直接光照

因此光栅化能表现的光线传播内容实际上只有零次和一次弹射(光源自己+直接光照)

* 直接光照(光源能直接照射的地方有颜色，其余位置为黑的)

![](../../images/Direct_illumination_eg.png)

* 一次间接光照(光弹射两次)

![](../../images/one-bounce_global_illumination_eg.png)

* 两次间接光照(光弹射一次，两次，三次累积后的全局光照效果)

![](../../images/two-bounce_global_illumination_eg.png)

* 四次间接光照(玻璃灯内部变亮，在弹射三次时，仅足够进入物体，不足以离开物体)(双层玻璃需要两次弹射进入，两次弹射离开)

![](../../images/four-bounce_global_illumination_eg.png)

8次弹射和16次弹射只会提高暗处亮度，难以感知到

在无限次数弹射下，亮度会收敛到某一个值上，不会有剧烈变化，也不会产生过曝

在相机的情况下，保持快门打开则会产生过曝现象，与辐射度量学中单位时间的条件相应，快门打开使积累能量的时间变长，亮度变亮