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title: "《线性代数》克莱姆法则"
date: 2023-08-11T21:07:47+08:00

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## 克莱姆法则

克莱姆法则并非计算线性方程组的最好方法（高斯消元法），但能够加深对线性方程组的理解


对于一个线性方程组
$$
\begin{cases}
    3x+2y &=-4 \\\\ 
    -1x+2y &=-2 
\end{cases}
$$

可以将其看作对向量的一个已知的矩阵变换,且结果已知

$$
\begin{bmatrix}
    3 & 2 \\\\
    -1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\\\
    y
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    -4 \\\\
    -2
\end{bmatrix}
$$

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%88%99/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%E8%BD%AC%E5%8C%96.gif)

$$
x\begin{bmatrix}
    3  \\\\
    -1 
\end{bmatrix} +
y\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    2
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    -4 \\\\
    -2
\end{bmatrix}
$$

在计算时不能将点乘的结果视为x或y的坐标，因为点乘会随着线性变换而改变结果甚至正负性，但对于不改变点积的正交变换（基向量在变换后依然保持单位长度且相互垂直）则可以使用


![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%88%99/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B8%8B%E7%82%B9%E7%A7%AF.gif)

面积/体积与坐标值的关系

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%88%99/%E9%9D%A2%E7%A7%AF.gif)

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%88%99/%E4%BD%93%E7%A7%AF.gif)

根据面积关系可以求出Y

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%88%99/%E6%B1%82Y.gif)

X的求取同理

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%88%99/%E6%B1%82X.gif)

上述对XY的求取方式就是克莱姆法则

在三维下同样适用

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%A7%86%E6%B3%95%E5%88%99/%E4%B8%89%E7%BB%B4.gif)