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title: "《线性代数》向量"
date: 2023-08-05T14:02:01+08:00

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## 向量

* 计算机中：（vector）：数组（bushi）
* 物理上：空间中的一个箭头，由长度和方向定义
* 向量可以认为是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量的相乘是有意义的即可，本质是对物理上和计算机上两种描述的概括
* 向量加法:$\vec{V}+\vec{W}$
* 向量数乘:$2\vec{V}$

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将向量引入坐标系后，在线性代数中，不同于物理上的向量，向量起点固定为坐标系原点

![](../../images/数学/《线性代数》向量/向量坐标系.png)

如上图中向量可以用一个矩形表示，其中-2表示在x轴上到原点的距离，3表示在y轴上到原点的距离

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在三维坐标系中，向量表示为一个三元数组，每个三元数组给出唯一一个向量，一个向量对应一个三元数组

![](../../images/数学/《线性代数》向量/三维向量坐标系.png)


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利用向量在坐标系中的表示可以简单理解向量加法和向量数乘

向量加法可认为是将被加向量平移到起点与第一个向量的终点重合,绘制一个新的向量从第一个向量的起点出发，指向第二个向量的终点，新的向量就认为是两个向量的和

注：以上情形几乎是线性代数中唯一允许向量起始点离开原点的情形

对于$\vec{V}+\vec{W}$

![](../../images/数学/《线性代数》向量/向量加法.png)

从数字角度上则可认为是在行走对应步数

![](../../images/数学/《线性代数》向量/步数向量加法.png)

所以

$$
\begin{bmatrix}
    x_1 \\\\
    y_1
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
    x_2 \\\\
    y_2
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
    x_1+x_2 \\\\
    y_1+y_2
\end{bmatrix}
$$


向量乘法中，向量相乘标量则认为对向量的缩放过程，如$2\vec{V}$则认为将$\vec{V}$拉伸为原来的2倍，由于数字在线性代数中主要作用就是缩放向量，通常情况下，标量和数字在这里往往可以互相替换

![](../../images/数学/《线性代数》向量/向量乘法.png)


对于向量与标量相乘，即为向量中的每个分量与标量相乘

![](../../images/数学/《线性代数》向量/向量标量相乘.png)

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