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title: "《线性代数》点乘"
date: 2023-08-08T22:52:40+08:00

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## 点乘的标准方法

### 两个相同维度的向量

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E7%9B%B8%E5%90%8C%E7%BB%B4%E5%BA%A6%E5%90%91%E9%87%8F%E7%82%B9%E4%B9%98%E6%A0%87%E5%87%86.gif)

对应的几何解释

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E7%82%B9%E4%B9%98%E7%9A%84%E5%87%A0%E4%BD%95%E8%A7%A3%E9%87%8A.gif)

线性变换下的解释


![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E6%96%B9%E5%BC%8F%E8%A7%A3%E9%87%8A.png)

1$\times$2矩阵与向量相乘的这一计算过程，正如两个向量的点乘一样，1$\times$2矩阵可以近似看作倾倒的向量

点乘的方向性

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E7%82%B9%E4%B9%98%E7%9A%84%E6%96%B9%E5%90%91%E6%80%A7.gif)

点乘的计算与顺序无关

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E7%82%B9%E4%B9%98%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E6%97%A0%E5%85%B3.gif)

对于对称性被破坏的情况下，无论哪一个向量投影到另一个向量，缩放向量对点积结果的影响都是相同的

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E6%97%A0%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E4%B8%8B%E7%82%B9%E4%B9%98%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E6%97%A0%E5%85%B3.gif)


## 对偶性

解释点乘的计算方式和投影之间的联系的最好方式是对偶性

前文中1$\times$2矩阵与向量相乘的这一计算过程为我们揭示某种几何关系

假设目前还不知道点乘与向量投影间的关系

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E6%80%A7%E6%8E%A8%E7%90%86.gif)

对于$\hat{j}$也遵循这样的推理原则

$\hat{u}$的y坐标给出了$\hat{j}$向斜着的数轴上投影所得到的数

因此描述投影变换的1$\times$2矩阵的两列就是$\hat{u}$的坐标

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E6%8A%95%E5%BD%B1%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%92%8C%E5%90%91%E9%87%8F%E7%9B%B8%E4%B9%98.png)

计算向量投影的过程就是投影矩阵与这个向量相乘，而这一过程就是点乘的计算方式

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E6%8A%95%E5%BD%B1%E5%AF%B9%E6%AF%94.png)

也是与单位向量的点乘可以被简单解读为将向量投影到单位向量上所得到的投影的长度

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对于向量与给定非单位向量的点乘

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%82%B9%E4%B9%98/%E5%90%91%E9%87%8F%E4%B8%8E%E9%9D%9E%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%90%91%E9%87%8F%E7%9A%84%E7%82%B9%E4%B9%98.gif)

任何时候看到一个输出空间是一维数轴的线性变换，无论定义是如何，都可以认为存在唯一向量$\vec{V}$与之相关

正是对偶性（两种数学事物自然而又出乎意料的对应关系）的体现

* 一个向量的对偶是由它定义的线性变换
* 一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量
## 点乘的用途

* 点乘是理解投影的几何工具
* 判断两个向量的指向是否相同
* 两个向量点乘即将其中一个向量转化为线性变换（数值上仅表现为相似的计算流程）