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title: "《线性代数》逆矩阵、列空间和秩"
date: 2023-08-06T22:46:23+08:00

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## 矩阵的用途

可参与求解线性方程组(每一个方程中，所有的未知量只有常系数。未知量之间只加和)

$$
\left\\{ 
    \begin{array}{c}
        2x+5y+3z &=-3 \\\\ 
        4x+0y+8z &=0 \\\\ 
        1x+3y+0z &=2 \\\\
    \end{array}
\right.
$$

线性方程组也可以合并为一个向量方程,方程有一个包含所有常数系数的矩阵，一个包含所有未知量的向量及乘积所得到的一个常数向量

$$
\overbrace{\begin{bmatrix}
    2 & 5 & 3 \\\\
    4 & 0 & 8 \\\\
    1 & 3 & 0
\end{bmatrix}}^{A}
\overbrace{\begin{bmatrix}
    x \\\\
    y \\\\
    z
\end{bmatrix}}^{\vec{x}} = 
\overbrace{\begin{bmatrix}
    -3 \\\\
    0 \\\\
    2
\end{bmatrix}}^{\vec{V}}
$$

由此可得出几何关系$A\vec{x} = \vec{V}$

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E3%80%81%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%92%8C%E7%A7%A9/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%85%B3%E7%B3%BB.gif)

## 二维方程组

对于方程组

$$
\left\\{ 
    \begin{array}{c}
        2x+2y &=-3 \\\\ 
        1x+3y &=0 \\\\ 
    \end{array}
\right.
$$

A为2$\times2$矩阵，V和X都是二维向量

$$
\underbrace{\begin{bmatrix}
    2 & 2 \\\\
    1 & 3 
\end{bmatrix}}_{A}
\underbrace{\begin{bmatrix}
    x \\\\
    y
\end{bmatrix}}_X = 
\underbrace{\begin{bmatrix}
    -4 \\\\
    -1
\end{bmatrix}}_V
$$

方程解则依赖于A所表示的线性变换是将空间挤压到更低维度还是保持完整二维空间，即A的行列式的值是否为0

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A的行列式非0，即空间未被挤压为零面积的区域，随机选取矩阵时遇到此情况概率很大，因此对于这样的两个未知量，两个方程的方程组几乎存在唯一解

此时有且只有一个向量在变换后与V重合，能够跟踪V的动向，逆向变换V得到这个向量

逆向变换时对应一种逆变换，称A的逆，记

$$
\underbrace{\begin{bmatrix}
    3 & 1 \\\\
    0 & 2
\end{bmatrix}^{-1}}_{A^{-1}}
$$

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E3%80%81%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%92%8C%E7%A7%A9/%E9%80%86%E5%90%91%E5%8F%98%E6%8D%A2%E4%B8%BE%E4%BE%8B.gif)

A逆是满足以下性质的唯一变换

首先应用A的变换，再应用A逆的变换会回到原始状态

在矩阵乘法上表现为相乘得到一个什么也不做的矩阵（保持基向量不变）

$$
A^{-1}A = 
\begin{bmatrix}
    1 & 0 \\\\
    0 & 1
\end{bmatrix}
$$

由此可知，一旦得知$A^{-1}$就能通过在两边同时乘A的逆矩阵的方式来求解向量方程

$$
\underbrace{A^{-1}A}_{什么也不做矩阵}\vec{X} = \vec{V}A^{-1}
$$

随后得到的$\vec{X} = \vec{V}A^{-1}$则在几何上表示逆向进行变换且跟踪$\vec{V}$的动向

这种思想依旧适用于高维情况下，只要行列式不为零，就存在逆变换使得应用A变换再应用A逆变换后与原矩阵相同

$$
A^{-1}A = 
\begin{bmatrix}
    1 & 0 & 9 \\\\
    0 & 1 & 0 \\\\
    0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E3%80%81%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%92%8C%E7%A7%A9/%E9%AB%98%E7%BB%B4%E4%B8%8B%E9%80%86%E5%8F%98%E6%8D%A2.gif)

求解方程也与二维相同

$$
\underbrace{A^{-1}A}_{什么也不做矩阵}\vec{X} = \vec{V}A^{-1}
$$

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行列式为0时

此时不存在逆变换，无法将一条线变为一个平面（此操作会让单个向量映射为多个向量，不满足线性变换类似函数的一一对应）

对三维空间同样生效，变换将三维空间压缩为一个平面乃至一条直线或一个点，也不存在逆变换

此时依旧可能存在解

对于二维，需要让向量V恰好处于这条直线上

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E3%80%81%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%92%8C%E7%A7%A9/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E4%B8%BA0%E6%97%B6%E6%9C%89%E8%A7%A3.png)

## 秩

变换结果为一条直线，即一维结果，则称秩为1

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E3%80%81%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%92%8C%E7%A7%A9/%E7%A7%A9%E4%B8%BA1.gif)

变换后平面落在平面上，则称变换的秩为2

由此，秩表示变换后的空间的维数

对于一个2$\times$2的矩阵，最大秩为2，基向量能张成整个二维空间且行列式不为0，对于3$\times$3矩阵而言，则是被压缩为一个平面

所有可能的输出向量$A\vec{v}$的集合称为矩阵的列空间

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E3%80%81%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%92%8C%E7%A7%A9/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%97%B4.gif)

由此我们可以推断出，秩的更准确定义是列空间的维数，秩的值最大时，表明秩与列数相等，称满秩

由于线性变换必须保持原点位置不变，所以零向量必定包含在列空间中

对于一个满秩变换，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身，非满秩变换则将空间压缩到更低维度上，意味着存在一系列向量在变换后变为零向量

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5%E3%80%81%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%92%8C%E7%A7%A9/%E9%9D%9E%E6%BB%A1%E7%A7%A9%E5%8F%98%E6%8D%A2.gif)

变换后落在原点的向量的集合则称为矩阵的零空间或核

对于一个线性方程组，如果向量V恰好为零向量,零空间就是这个向量方程的所有可能的解

$$
A\vec{X} = \overbrace{\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    0
\end{bmatrix}}^{\vec{V}}
$$