--- title: "《线性代数》矩阵乘法与线性变换复合" date: 2023-08-06T15:02:43+08:00 --- ## 矩阵与复合线性变换的关系 复合线性变换：完成一次变换后再次进行变换，如先旋转再剪切。与一次变换相同，也可通过追踪$\hat{i}$和$\hat{j}$来确定变换后的向量变换 新矩阵表示了一个单独的作用来完成复合线性变换 对于一个先旋转后剪切的线性变换，可以用以下方式来进行计算 选左乘旋转矩阵再左乘剪切矩阵,数值上表示对一个给定向量进行旋转然后剪切 $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} (\begin{bmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix} $$ 由此可得，对于下列矩阵，需要从右向左读，即先应用右侧矩阵描述的变换再应用左侧矩阵描述的变换 $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$ **两个矩阵相乘有着几何意义，即两个线性变换相继作用** ## 矩阵相乘计算流程 $$ \begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\\\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ? & ? \\\\ ? & ? \end{bmatrix} $$ 首先，要得知$\hat{i}$的终点可由第二个矩阵的第一列得知，因此 $$ \begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \\\\ g \end{bmatrix} = e \begin{bmatrix} a \\\\ c \end{bmatrix} + g \begin{bmatrix} b \\\\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg \\\\ ce + dg \end{bmatrix} $$ 其次，$\hat{j}$终点在右侧矩阵第二列所表示的位置上 $$ \begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f \\\\ h \end{bmatrix} = f \begin{bmatrix} a \\\\ c \end{bmatrix} + h \begin{bmatrix} b \\\\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} af + bh \\\\ cf + dh \end{bmatrix} $$ 可得最终结果为 $$ \begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\\\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\\\ ce + dg & cd + dh \end{bmatrix} $$ ### 矩阵相乘顺序 $$ M_1M_2 \not ={M_2M_1} $$ 矩阵相乘结果受顺序影响 可由相乘本质是进行多次线性变换得知，改变变换的顺序会导致不同的结果 ![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9B%B8%E4%B9%98%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E8%A1%A8%E7%A4%BA.gif) 对于结合律，本质上没有改变变换的顺序，因而不会导致结果不同 $$ A(BC) = (AB)C $$ ![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/%E7%BB%93%E5%90%88%E5%BE%8B%E5%8F%98%E6%8D%A2%E8%AF%81%E6%98%8E.gif) ## 三维空间下的线性变换 三维空间下的线性变换可由二维拓展，都可由基向量表示所有的向量 三维下需要引入三个基向量，X轴的$\hat{i}$，Y轴的$\hat{j}$，Z轴的$\hat{k}$ 需要得知变换后的向量位置只需要将坐标与矩阵的对应列相乘 $$ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 \\\\ 6 & 7 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 0 \\\\ 3 \\\\ 6 \end{bmatrix}+ y \begin{bmatrix} 1 \\\\ 4 \\\\ 7 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 2 \\\\ 5 \\\\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0+y+2z \\\\ 3x+4y+5z \\\\ 6x+7y+8z \end{bmatrix} $$ 对于两个矩阵相乘也是类似的，第二个矩阵的三个列分别对应三个基向量的位置 $$ \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 \\\\ 5 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 \\\\ 6 & 7 & 8 \end{bmatrix} $$ $\hat{i}$的终点可由第二个矩阵的第一列得知 $$ \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 \\\\ 5 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\\\ 3 \\\\ 6 \end{bmatrix} = 0 \begin{bmatrix} 0 \\\\ 5 \\\\ 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -2 \\\\ 1 \\\\ 4 \end{bmatrix} + 6 \begin{bmatrix} 2 \\\\ 5 \\\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0-6+12 \\\\ 0+3+30 \\\\ 0+12-6 \end{bmatrix} $$ $\hat{j}$的终点可由第二个矩阵的第二列得知 $$ \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 \\\\ 5 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\\\ 4 \\\\ 7 \end{bmatrix} = 1 \begin{bmatrix} 0 \\\\ 5 \\\\ 1 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} -2 \\\\ 1 \\\\ 4 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 2 \\\\ 5 \\\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0-8+14 \\\\ 5+4+35 \\\\ 1+16-7 \end{bmatrix} $$ $\hat{k}$的终点可由第二个矩阵的第三列得知 $$ \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 \\\\ 5 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\\\ 5 \\\\ 8 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 0 \\\\ 5 \\\\ 1 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} -2 \\\\ 1 \\\\ 4 \end{bmatrix} + 8 \begin{bmatrix} 2 \\\\ 5 \\\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0-10+16 \\\\ 10+5+40 \\\\ 2+20-8 \end{bmatrix} $$ 所以最终结果为 $$ \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 \\\\ 5 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 \\\\ 6 & 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0-6+12 & 0-8+14 & 0-10+16 \\\\ 0+3+30 & 5+4+35 & 10+5+40 \\\\ 0+12-6 & 1+16-7 & 2+20-8 \end{bmatrix} $$ ## 非方阵 对于一个3$\times$2矩阵$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ -1 & 1 \\\\ -2 & 1 \end{bmatrix}$同样可以用线性变换来解释，只是输入向量和输出向量在不同维度上，因而没有关联 第一列认为是变换后的$\hat{i}$,第二列认为是变换后的$\hat{j}$ 列空间是三维空间中一个过原点的二维平面，但由于列空间的维数与输入空间维数相等，依旧是满秩的，几何意义是将二维空间映射到三维空间上 --- 同样地，对于一个2 $\times$ 3矩阵 几何上表示将三维空间映射到二维空间上 ![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/2X3%E7%9F%A9%E9%98%B5.png) --- 二维到一维空间的转换也存在，一维空间本质就是数轴，即将两个基向量压缩到一条直线上，如果直线上有一系列等距分布的点，在映射到数轴后依旧保持等距分布此处不再过多赘述 ![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%A4%8D%E5%90%88/%E4%BA%8C%E7%BB%B4%E5%88%B0%E4%B8%80%E7%BB%B4.gif)