完成公式大全中线性代数的特征值相关

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 #### 矩阵特征值和特征向量的定义
 
+对n阶矩阵A，若存在一个数$\lambda$与一个非零的n维向量X，使AX=X成立，则称$\lambda$是A的一个特征值，称X为A的属于$\lambda$的特征向量
+
+称行列式
+
+$$
+f_A(\lambda)=|\lambda E-A|
+$$
+
+为A的特征行列式，称
+
+$$
+f_A(\lambda)=|\lambda E-A|=0
+$$
+
+为A的特征方程，称$\lambda E-A$为A的特征矩阵
+
 #### 特征值与特征向量的性质
 
+设$\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)$为n阶矩阵$A=(a_{ij})n\times n$的特征值，则有
+
+1. $\sum_{i=1}^n \lambda_i=\sum_{i=1}^na_{ii}(\sum_{i=1}^na_{ii})$称为A的迹，记为$tr((A)),\prod_{i=1}^n \lambda_i=|A|$
+2. A的不同特征值的特征向量必线性无关，这个性质包含两个内容
+   1. 若$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$是A的两两不等的特征值，$X_1,X_2,\cdots,X_s$是A的分别属于$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$的特征向量，则向量组$X_1,X_2,\cdots,X_s$必线性无关
+   2. 若$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$是A的两两不等的特征值，$X_{11},x_{12},\cdots,X_{1m_1};X_{21},x_{22},\cdots,X_{2m_2};X_{s1},x_{s2},\cdots,X_{sm_s}$必线性无关
+
 #### 进一步延伸的公式
 
+设$X_0$是A的属于特征值$\lambda_0$的特征向量，即$AX_0=\lambda_0X_0$则以下公式也都成立
+
+1. $(kA+tE)X_0=(K\lambda_0+t)X_0$，k，t为常数
+2. $A^kX_0=\lambda_0^kX_0$
+3. $f(A)X_0=f(\lambda_0)X_0$式中f(A)是A的矩阵多项式，$f(\lambda_0)$是$\lambda_0$的同一多项式
+4. 若A可逆，则有$A^{-1}X_0=\frac{1}{\lambda_0}X_0$
+5. $A^*X_0=\frac{|A|}{\lambda_0}X_0$
+6. $(P^{-1}AP)(P^{-1}X_0)=\lambda_0(P^{-1}X_0)$
+7. $A^T$与A有相同的特征值
+8. 若n阶矩阵A满足$f(A)=O$则有$f(\lambda)=0$
+
 ### 矩阵对角化问题
 
 #### 矩阵可对角化的定义
 
+对于n阶矩阵A，若存在一个n阶可逆矩阵P，使
+
+$$
+P^{-1}AP=\Lambda(\Lambda为对角矩阵)
+$$
+
+成立，则称A可相似对角化，简称A可对角化，否则就称A不可对角化
+
+若n阶矩阵A可以对角化，则对角矩阵$\Lambda$的n个对角线元素必是A的n个特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,X_n$(包括重根)，其相似变换矩阵P的n个列向量$X_1,X_2,\cdots,X_n$是A的分别属于$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$的特征向量，且$X_1,X_2,\cdots,X_n$线性无关，即有
+
+$$
+P^{-1}AP=A,
+$$
+
+其中
+
+$$
+\Lambda = \begin{bmatrix}
+  \lambda_1 \\\\
+   & \lambda_2 \\\\
+   & & \ddots \\\\
+   & & & \lambda_n
+\end{bmatrix},
+P=(X_1,X_2,\cdots,X_n)为可逆矩阵，且AX_j=\lambda_j X_j(j=1,2,\cdots,n)
+$$
+
 #### 矩阵可对角化的有关定理
 
+1. n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
+2. 若n阶矩阵A有n个两两不等的特征值，则A必可对角化
+3. 设$\lambda_i$是矩阵A的任一个特征值，其代数重数为$n_i$（即$\lambda_i$是$n_i$的重特征值），其几何重数为$m_i$（即属于$\lambda_i$的线性无关的特征向量的最大个数，也是齐次线性方程组$(\lambda_iE-A)X=0$的基础解系中的向量个数，$m_i=n-r(\lambda_iE-A)$）,则恒有$m_i\leq n_i$
+4. 设n阶矩阵A的两两不等的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s(1\leq s\leq n)$则矩阵A可对角化的充要条件是对A的每一个特征值$\lambda_i$，都有$m_i=n_i(i=1,2,\cdots,s)$
+
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 ## 二次型