公式大全补充线性方程组内容

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@@ -102,7 +102,7 @@ date: 2022-12-24T13:05:40+08:00
     - [线性方程组的4种表示形式](#线性方程组的4种表示形式)
       - [一般表示式](#一般表示式)
       - [$\\sum$记号表示式](#sum记号表示式)
-      - [矩阵表示方式](#矩阵表示方式)
+      - [矩阵表示式](#矩阵表示式)
       - [向量表示式](#向量表示式)
     - [线性方程组有解的判别条件](#线性方程组有解的判别条件)
       - [克莱姆法则](#克莱姆法则)
@@ -1245,34 +1245,170 @@ A的n个列（行）向量两两正交，且每个列（行）向量都是单位
 
 #### 一般表示式
 
+非齐次线性方程组
+
+$$
+\begin{cases}
+    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1 \\\\ 
+    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2 \\\\ 
+    \cdots \\\\
+    a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=b_m \\\\
+\end{cases}
+$$
+
+齐次线性方程组
+
+$$
+\begin{cases}
+    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=0 \\\\ 
+    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=0 \\\\ 
+    \cdots \\\\
+    a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=0 \\\\
+\end{cases}
+$$
+
 #### $\sum$记号表示式
 
-#### 矩阵表示方式
+非齐次线性方程组
+
+$$
+\sum^n_{j=1}a_{ij}x_j=b_i(i=1,2,\cdots,m)
+$$
+
+齐次线性方程组
+
+$$
+\sum^n_{j=1}a_{ij}x_j=0(i=1,2,\cdots,m)
+$$
+
+#### 矩阵表示式
+
+非齐次线性方程组
+
+$$
+AX=b
+$$
+
+式中$A=(a_{ij})\_{m\times n},X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T,b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T$
+
+齐次线性方程组
+
+$$
+AX=0
+$$
+
+式中A,X同上，$0=(0,\cdots,0)^T$
 
 #### 向量表示式
 
+非齐次线性方程组
+
+$$
+x_1a\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=b
+$$
+
+式中$\alpha_j=(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj})^T$，$(j=1,2,\cdots,n),b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T$
+
+齐次线性方程组
+
+$$
+x_1a\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=0
+$$
+
+式中$\alpha_j$同上，$0=(0,\cdots,0)^T$是一个m维的零向量
+
 ### 线性方程组有解的判别条件
 
 #### 克莱姆法则
 
+非齐次线性方程组
+
+$$
+\begin{cases}
+    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1 \\\\ 
+    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2 \\\\ 
+    \cdots \\\\
+    a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=b_m \\\\
+\end{cases}
+$$
+
+的系数行列式$D=|A|=\begin{vmatrix}
+  a_{11} & a_{12} & \cdots a_{1n} \\\\
+  a_{21} & a_{22} & \cdots a_{2n} \\\\
+  \vdots & \vdots & & \vdots \\\\
+  a_{n1} & a_{n2} & \cdots a_{nn} \\\\
+\end{vmatrix} \not = 0$
+
+则方程组有唯一解：$x_{j}=\frac{D_j}{D}=(j=1,2,\cdots,n)$,其中$D_j$是把D中第j列元素$(a_{1j},a_{2j},a_{nj})^T$换成常数项$(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$而得到的新行列式
+
+齐次线性方程组
+
+$$
+\begin{cases}
+    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=0 \\\\ 
+    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=0 \\\\ 
+    \cdots \\\\
+    a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=0 \\\\
+\end{cases}
+$$
+
+的系数行列式$D=|A|=\begin{vmatrix}
+  a_{11} & a_{12} & \cdots a_{1n} \\\\
+  a_{21} & a_{22} & \cdots a_{2n} \\\\
+  \vdots & \vdots & & \vdots \\\\
+  a_{n1} & a_{n2} & \cdots a_{nn} \\\\
+\end{vmatrix} \not = 0$
+
+则该齐次线性方程组只有零解：$x_j=0(j=1,2,\cdots,n)$
+
+推论：若已知上述齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0
+
 #### 非齐次线性方程组有解的判别条件
 
+ 对于AX=b（其中A为$m\times n$型矩阵）有解的充要条件是：增广矩阵$\tilde{A}=(A,b)$的秩与系数矩阵A的秩相等，即r(A,b)=r(A),且
+
+ 1. 当$r(\tilde{A})=r(A,b)=r(A)=n$(未知量的个数)时，方程组有唯一解
+ 2. 当$r(\tilde{A})=r(A,b)=r(A)<n$(未知量的个数)时，方程组有无穷多个解
+
 #### 齐次线性方程组有非零解的判别条件
 
+对于AX=0（其中A为m$\times$n矩阵），当r(A)=n(未知量的个数)时，方程组只有零解：X=0；当r(A)<0时，方程组必有非零解（即有无穷多个解）
+
 ### 齐次线性方程组的解结构
 
 #### 齐次线性方程组AX=0的解的性质
 
+1. 若$X_1,X_2$都是$AX=0$的解，则$X_1+X_2$也是AX=0的解
+2. 对于任意$k\in R$，若$X_1$是AX=0的解，则$kX_1$也都是AX=0的解
+
 #### 齐次线性方程组AX=0的基础解系
 
+若$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$是齐次线性方程组的AX=0的一组解（A为$m\times n$矩阵，r(A)< n），且
+
+1. $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$线性无关
+2. AX=0的任一解都可以由它线性表出，则称$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系
+
 #### AX=0的解的结构
 
+若A为$m\times n$矩阵，且r(A)< n，则其通解（全部解）为：$k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r(A)}\eta_{n-r(A)}$其中 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r(A)}$是AX=0的一个基础解系，$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r(A)}$为任意常数
+
 ### 非齐次线性方程组AX=b的解的结构
 
 #### 非齐次线性方程组Ax=b的解的性质
 
+1. 若$X_1,X_2$为非齐次线性方程组AX=b的两个解，则其差$X_1-X_2$必是导出组AX=0的解
+2. 若$\eta_0$是AX=b的任一解，$\eta_1$是其导出组AX=0的解，则$\eta_0+\eta_1$也是非齐次线性方程组AX=b的解
+
 #### 非齐次线性方程组AX=b的解的结构
 
+当$r(A,b)=r(A_{m\times n})< n$时，其通解（全部解）为
+
+$$
+\eta_0+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r(A)}\eta_{n-r(A)}
+$$
+
+其中$\eta_0$为AX=b的任一个特解，$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r(A)}$为导出组AX=0的基础解系，$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r(A)}$为任意常数
+
 ---
 
 ## 矩阵特征值和特征向量