完成公式大全中线性代数的特征值相关
continuous-integration/drone/push Build is passing
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8346029c4a
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1e7f2ed613
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@ -1417,16 +1417,81 @@ $$
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#### 矩阵特征值和特征向量的定义
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对n阶矩阵A,若存在一个数$\lambda$与一个非零的n维向量X,使AX=X成立,则称$\lambda$是A的一个特征值,称X为A的属于$\lambda$的特征向量
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称行列式
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f_A(\lambda)=|\lambda E-A|
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为A的特征行列式,称
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f_A(\lambda)=|\lambda E-A|=0
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为A的特征方程,称$\lambda E-A$为A的特征矩阵
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#### 特征值与特征向量的性质
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设$\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)$为n阶矩阵$A=(a_{ij})n\times n$的特征值,则有
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1. $\sum_{i=1}^n \lambda_i=\sum_{i=1}^na_{ii}(\sum_{i=1}^na_{ii})$称为A的迹,记为$tr((A)),\prod_{i=1}^n \lambda_i=|A|$
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2. A的不同特征值的特征向量必线性无关,这个性质包含两个内容
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1. 若$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$是A的两两不等的特征值,$X_1,X_2,\cdots,X_s$是A的分别属于$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$的特征向量,则向量组$X_1,X_2,\cdots,X_s$必线性无关
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2. 若$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$是A的两两不等的特征值,$X_{11},x_{12},\cdots,X_{1m_1};X_{21},x_{22},\cdots,X_{2m_2};X_{s1},x_{s2},\cdots,X_{sm_s}$必线性无关
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#### 进一步延伸的公式
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设$X_0$是A的属于特征值$\lambda_0$的特征向量,即$AX_0=\lambda_0X_0$则以下公式也都成立
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1. $(kA+tE)X_0=(K\lambda_0+t)X_0$,k,t为常数
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2. $A^kX_0=\lambda_0^kX_0$
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3. $f(A)X_0=f(\lambda_0)X_0$式中f(A)是A的矩阵多项式,$f(\lambda_0)$是$\lambda_0$的同一多项式
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4. 若A可逆,则有$A^{-1}X_0=\frac{1}{\lambda_0}X_0$
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5. $A^*X_0=\frac{|A|}{\lambda_0}X_0$
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6. $(P^{-1}AP)(P^{-1}X_0)=\lambda_0(P^{-1}X_0)$
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7. $A^T$与A有相同的特征值
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8. 若n阶矩阵A满足$f(A)=O$则有$f(\lambda)=0$
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### 矩阵对角化问题
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#### 矩阵可对角化的定义
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对于n阶矩阵A,若存在一个n阶可逆矩阵P,使
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P^{-1}AP=\Lambda(\Lambda为对角矩阵)
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成立,则称A可相似对角化,简称A可对角化,否则就称A不可对角化
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若n阶矩阵A可以对角化,则对角矩阵$\Lambda$的n个对角线元素必是A的n个特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,X_n$(包括重根),其相似变换矩阵P的n个列向量$X_1,X_2,\cdots,X_n$是A的分别属于$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$的特征向量,且$X_1,X_2,\cdots,X_n$线性无关,即有
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P^{-1}AP=A,
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其中
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\Lambda = \begin{bmatrix}
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\lambda_1 \\\\
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& \lambda_2 \\\\
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& & \ddots \\\\
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& & & \lambda_n
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\end{bmatrix},
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P=(X_1,X_2,\cdots,X_n)为可逆矩阵,且AX_j=\lambda_j X_j(j=1,2,\cdots,n)
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#### 矩阵可对角化的有关定理
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1. n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
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2. 若n阶矩阵A有n个两两不等的特征值,则A必可对角化
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3. 设$\lambda_i$是矩阵A的任一个特征值,其代数重数为$n_i$(即$\lambda_i$是$n_i$的重特征值),其几何重数为$m_i$(即属于$\lambda_i$的线性无关的特征向量的最大个数,也是齐次线性方程组$(\lambda_iE-A)X=0$的基础解系中的向量个数,$m_i=n-r(\lambda_iE-A)$),则恒有$m_i\leq n_i$
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4. 设n阶矩阵A的两两不等的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s(1\leq s\leq n)$则矩阵A可对角化的充要条件是对A的每一个特征值$\lambda_i$,都有$m_i=n_i(i=1,2,\cdots,s)$
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## 二次型
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