完成《线性代数》向量和张成空间

content/about/_index.md

@@ -32,6 +32,8 @@ date: 2022-05-10T17:23:35+08:00
 
 这里存放一些我在学习高数，线代，概率论的一些随笔，一方面是图形学的琢磨用的比较多，另一方面也是考研做题需求
 
+线性代数部分基于[3Blue1Brown](https://space.bilibili.com/88461692)制作的[线性代数的本质](https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E/),如有错误欢迎页脚邮件指出
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 记录自己用服务器搭建的一些方便自己使用的服务，什么内网穿透，云VSCode，自己的私人git仓库之类的，还有自己逛Github碰到的一些有意思的开源项目，生活上的一些记录，游戏记录+1，总之就是一些难以分类的随笔
 
 
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 囿于本人知识沉淀有限，知识越丰富，越感知识面之欠缺，如有错误，欢迎点击页脚信封图标给我发邮件指出，我会加以验证和改正

content/mathematics/《线性代数》向量.md

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+title: "《线性代数》向量"
+date: 2023-08-05T14:02:01+08:00
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+## 向量
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+* 计算机中：（vector）：数组（bushi）
+* 物理上：空间中的一个箭头，由长度和方向定义
+* 向量可以认为是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量的相乘是有意义的即可，本质是对物理上和计算机上两种描述的概括
+* 向量加法:$\vec{V}+\vec{W}$
+* 向量数乘:$2\vec{V}$
+
+---
+
+将向量引入坐标系后，在线性代数中，不同于物理上的向量，向量起点固定为坐标系原点
+
+![](../../images/数学/《线性代数》向量/向量坐标系.png)
+
+如上图中向量可以用一个矩形表示，其中-2表示在x轴上到原点的距离，3表示在y轴上到原点的距离
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+---
+
+在三维坐标系中，向量表示为一个三元数组，每个三元数组给出唯一一个向量，一个向量对应一个三元数组
+
+![](../../images/数学/《线性代数》向量/三维向量坐标系.png)
+
+
+---
+
+利用向量在坐标系中的表示可以简单理解向量加法和向量数乘
+
+向量加法可认为是将被加向量平移到起点与第一个向量的终点重合,绘制一个新的向量从第一个向量的起点出发，指向第二个向量的终点，新的向量就认为是两个向量的和
+
+注：以上情形几乎是线性代数中唯一允许向量起始点离开原点的情形
+
+对于$\vec{V}+\vec{W}$
+
+![](../../images/数学/《线性代数》向量/向量加法.png)
+
+从数字角度上则可认为是在行走对应步数
+
+![](../../images/数学/《线性代数》向量/步数向量加法.png)
+
+所以
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+    x_1 \\\\
+    y_1
+\end{bmatrix}
++
+\begin{bmatrix}
+    x_2 \\\\
+    y_2
+\end{bmatrix}=
+\begin{bmatrix}
+    x_1+x_2 \\\\
+    y_1+y_2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+
+向量乘法中，向量相乘标量则认为对向量的缩放过程，如$2\vec{V}$则认为将$\vec{V}$拉伸为原来的2倍，由于数字在线性代数中主要作用就是缩放向量，通常情况下，标量和数字在这里往往可以互相替换
+
+![](../../images/数学/《线性代数》向量/向量乘法.png)
+
+
+对于向量与标量相乘，即为向量中的每个分量与标量相乘
+
+![](../../images/数学/《线性代数》向量/向量标量相乘.png)
+
+---
+
+

content/mathematics/《线性代数》线性组合、张成的空间与基.md

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+title: "《线性代数》线性组合、张成的空间与基"
+date: 2023-08-05T16:30:08+08:00
+
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+
+## 基向量
+
+向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集
+
+$\hat{i}$,指向正右方长度为1，x方向的单位向量
+
+$\hat{j}$,指向正上方长度为1，y方向的单位向量
+
+对于一组向量坐标，可以视为用标量相乘来缩放基向量，再将其缩放后的向量相加
+
+$a\hat{i} + b \hat{j}$
+
+对于$\begin{bmatrix}
+    3 \\\\
+    -2
+\end{bmatrix}$可以认为$(3)\hat{i} + (-2)\hat{j}$
+
+此时i与j是xy坐标系的基向量
+
+坐标系也根据所选择的基而改变，并且对于基向量，通过不同的标量能够得到几乎所有的二维向量，并且允许在一维和二维向量间转换
+
+## 线性组合
+
+两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合
+
+$a\vec{V}+b\vec{W}$称为$\vec{V}$与$\vec{W}$的线性组合
+
+线性体现在于当固定一个标量时，随意改动另一个标量，得到的向量终点的连续是一条连续的直线
+
+![](../../images/数学/《线性代数》线性组合、张成的空间与基/线性组合.gif)
+
+
+当两个向量的终点在同一直线上时，得到的向量终点都在一条直线上
+
+
+## 张成的空间
+
+$\vec{V}$与$\vec{W}$全部线性组合构成的向量集合称为张成的空间。对于$a\vec{V} + b\vec{W}$,a和b在实数范围内变动
+
+当两个向量共线时，张成的空间就是终点落在一条直线上的向量的集合
+
+本质：两个向量只通过相加和数乘能够得到的所有可能向量的集合
+
+三维空间中，两个向量标量缩放得到的新向量集合即为三维空间中某个过原点的平面，即所有终点落在这个平面上的向量的集合就是这两个向量张成的空间
+
+![](../../images/数学/《线性代数》线性组合、张成的空间与基/三维线性组合.gif)
+
+引入第三个向量后，三个向量线性组合可定义为$a\vec{V} + b\vec{W}+C\hat{u}$,对于张成空间则让a,b,c三个常数变化
+
+第三个向量恰好落在前两个向量所张成的平面上，张成空间依旧是这个平面
+
+第三个向量如果随机选取则几乎不可能落在前两个向量所张成的平面中，此时能够得到所有不同的三维向量
+
+![](../../images/数学/《线性代数》线性组合、张成的空间与基/三向量线性组合.gif)
+
+对于三维下第三个向量恰好落在前两个向量的张成平面上和二维下两个向量恰好共线的情况，可以描述为一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间做出贡献，在有多个向量下，可以移出其中一个而不减小张成空间，此时往往称两个向量是线性相关的，即$\vec{u} = a\vec{V} + b \vec{W}$，也可以表述为其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合
+
+如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度则称线性无关，$\vec{W} \not ={a\vec{V}},\vec{U} \not ={a\vec{V}+b\vec{W}}$
+
+
+
+## 向量与点
+
+由于在空间里的每个向量都用箭头表示时会让人感到十分拥挤，通常我们就用向量的终点来表示该向量，起点依旧位于原点
+
+由此，同时考虑一条直线上的向量或二维向量时，只要考虑一条直线或无限大的二维平面本身即可
+
+单向量箭头表示，多向量点表示

content/mathematics/公式大全.md

@@ -11,3 +11,31 @@ date: 2022-12-24T13:05:40+08:00
 ### 函数
 
 #### 函数的定义
+
+设在某个过程中有两个变量x和y，对变量x在允许的范围内的每一个确定的值，变量y按照某一确定的法则总有相应的值与之对应，则称y为x的函数，记为y=f(x)
+
+# 线性代数
+
+## 向量
+
+### n维向量定义及其运算
+
+#### 向量定义及其线性运算
+
+1. 向量定义
+
+$
+n个数a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n组成一个有次序的数组，称为一个n维向量，用\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)(称为行向量)或\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)^T(称为列向量)来表示。称a_i为第i个分量，若干个同维列向量(或同维行向量)组成的集合称为向量组
+$
+
+2. 向量加法
+
+$
+\alpha + \beta = (a_1,a_2,\cdots,a_n)+(b_1,b_2,\cdots,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)
+$
+
+3. 数乘向量
+
+$j\alpha = k(a_1,a_2,\cdots,a_n) = (ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$
+
+#### 线性组合与线性表出