公式大全补充线性方程组内容
continuous-integration/drone/push Build is passing
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8346029c4a
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@ -102,7 +102,7 @@ date: 2022-12-24T13:05:40+08:00
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- [线性方程组的4种表示形式](#线性方程组的4种表示形式)
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- [线性方程组的4种表示形式](#线性方程组的4种表示形式)
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- [一般表示式](#一般表示式)
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- [一般表示式](#一般表示式)
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- [$\\sum$记号表示式](#sum记号表示式)
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- [$\\sum$记号表示式](#sum记号表示式)
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- [矩阵表示方式](#矩阵表示方式)
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- [矩阵表示式](#矩阵表示式)
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- [向量表示式](#向量表示式)
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- [向量表示式](#向量表示式)
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- [线性方程组有解的判别条件](#线性方程组有解的判别条件)
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- [线性方程组有解的判别条件](#线性方程组有解的判别条件)
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- [克莱姆法则](#克莱姆法则)
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- [克莱姆法则](#克莱姆法则)
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@ -1245,34 +1245,170 @@ A的n个列(行)向量两两正交,且每个列(行)向量都是单位
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#### 一般表示式
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#### 一般表示式
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非齐次线性方程组
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$$
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\begin{cases}
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a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1 \\\\
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a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2 \\\\
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\cdots \\\\
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a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=b_m \\\\
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\end{cases}
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$$
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齐次线性方程组
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$$
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\begin{cases}
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a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=0 \\\\
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a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=0 \\\\
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\cdots \\\\
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a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=0 \\\\
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\end{cases}
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$$
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#### $\sum$记号表示式
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#### $\sum$记号表示式
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#### 矩阵表示方式
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非齐次线性方程组
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$$
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\sum^n_{j=1}a_{ij}x_j=b_i(i=1,2,\cdots,m)
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$$
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齐次线性方程组
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$$
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\sum^n_{j=1}a_{ij}x_j=0(i=1,2,\cdots,m)
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$$
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#### 矩阵表示式
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非齐次线性方程组
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$$
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AX=b
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$$
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式中$A=(a_{ij})\_{m\times n},X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T,b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T$
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齐次线性方程组
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$$
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AX=0
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$$
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式中A,X同上,$0=(0,\cdots,0)^T$
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#### 向量表示式
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#### 向量表示式
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非齐次线性方程组
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$$
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x_1a\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=b
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$$
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式中$\alpha_j=(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj})^T$,$(j=1,2,\cdots,n),b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T$
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齐次线性方程组
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$$
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x_1a\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=0
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$$
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式中$\alpha_j$同上,$0=(0,\cdots,0)^T$是一个m维的零向量
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### 线性方程组有解的判别条件
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### 线性方程组有解的判别条件
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#### 克莱姆法则
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#### 克莱姆法则
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非齐次线性方程组
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$$
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\begin{cases}
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a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1 \\\\
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a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2 \\\\
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\cdots \\\\
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a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=b_m \\\\
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\end{cases}
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$$
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的系数行列式$D=|A|=\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots a_{1n} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\\\
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a_{n1} & a_{n2} & \cdots a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix} \not = 0$
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则方程组有唯一解:$x_{j}=\frac{D_j}{D}=(j=1,2,\cdots,n)$,其中$D_j$是把D中第j列元素$(a_{1j},a_{2j},a_{nj})^T$换成常数项$(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$而得到的新行列式
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齐次线性方程组
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\begin{cases}
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a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=0 \\\\
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a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=0 \\\\
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\cdots \\\\
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a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=0 \\\\
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\end{cases}
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$$
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的系数行列式$D=|A|=\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots a_{1n} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\\\
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a_{n1} & a_{n2} & \cdots a_{nn} \\\\
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\end{vmatrix} \not = 0$
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则该齐次线性方程组只有零解:$x_j=0(j=1,2,\cdots,n)$
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推论:若已知上述齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式D=0
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#### 非齐次线性方程组有解的判别条件
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#### 非齐次线性方程组有解的判别条件
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对于AX=b(其中A为$m\times n$型矩阵)有解的充要条件是:增广矩阵$\tilde{A}=(A,b)$的秩与系数矩阵A的秩相等,即r(A,b)=r(A),且
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1. 当$r(\tilde{A})=r(A,b)=r(A)=n$(未知量的个数)时,方程组有唯一解
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2. 当$r(\tilde{A})=r(A,b)=r(A)<n$(未知量的个数)时,方程组有无穷多个解
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#### 齐次线性方程组有非零解的判别条件
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#### 齐次线性方程组有非零解的判别条件
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对于AX=0(其中A为m$\times$n矩阵),当r(A)=n(未知量的个数)时,方程组只有零解:X=0;当r(A)<0时,方程组必有非零解(即有无穷多个解)
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### 齐次线性方程组的解结构
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### 齐次线性方程组的解结构
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#### 齐次线性方程组AX=0的解的性质
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#### 齐次线性方程组AX=0的解的性质
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1. 若$X_1,X_2$都是$AX=0$的解,则$X_1+X_2$也是AX=0的解
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2. 对于任意$k\in R$,若$X_1$是AX=0的解,则$kX_1$也都是AX=0的解
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#### 齐次线性方程组AX=0的基础解系
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#### 齐次线性方程组AX=0的基础解系
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若$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$是齐次线性方程组的AX=0的一组解(A为$m\times n$矩阵,r(A)< n),且
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1. $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$线性无关
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2. AX=0的任一解都可以由它线性表出,则称$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系
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#### AX=0的解的结构
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#### AX=0的解的结构
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若A为$m\times n$矩阵,且r(A)< n,则其通解(全部解)为:$k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r(A)}\eta_{n-r(A)}$其中 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r(A)}$是AX=0的一个基础解系,$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r(A)}$为任意常数
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### 非齐次线性方程组AX=b的解的结构
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### 非齐次线性方程组AX=b的解的结构
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#### 非齐次线性方程组Ax=b的解的性质
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#### 非齐次线性方程组Ax=b的解的性质
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1. 若$X_1,X_2$为非齐次线性方程组AX=b的两个解,则其差$X_1-X_2$必是导出组AX=0的解
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2. 若$\eta_0$是AX=b的任一解,$\eta_1$是其导出组AX=0的解,则$\eta_0+\eta_1$也是非齐次线性方程组AX=b的解
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#### 非齐次线性方程组AX=b的解的结构
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#### 非齐次线性方程组AX=b的解的结构
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当$r(A,b)=r(A_{m\times n})< n$时,其通解(全部解)为
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\eta_0+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r(A)}\eta_{n-r(A)}
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其中$\eta_0$为AX=b的任一个特解,$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r(A)}$为导出组AX=0的基础解系,$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r(A)}$为任意常数
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## 矩阵特征值和特征向量
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## 矩阵特征值和特征向量
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