完成《线性代数》基变换

content/mathematics/《线性代数》基变换.md

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+title: "《线性代数》基变换"
+date: 2023-08-10T21:32:54+08:00
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+## 基交换
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+对于不同的坐标系，描述同一坐标时可能会依据不同的基向量定义产生不同的结果
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%9F%BA%E5%8F%98%E6%8D%A2/%E4%B8%8D%E5%90%8C%E5%9F%BA%E5%90%91%E9%87%8F.png)
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+产生原因：原点都相同，但坐标系的间隔会依据基向量的选择而不同
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+### 不同基向量转化向量
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%9F%BA%E5%8F%98%E6%8D%A2/%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%BD%AC%E5%8C%96.gif)
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+用某个向量的特定坐标与她的基向量数乘，然后将结果相加
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+$$
+\begin{bmatrix}
+    2 & -1 \\\\
+    1 & 1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+    -1 \\\\
+    2
+\end{bmatrix} = 
+-1\begin{bmatrix}
+    2 \\\\
+    1
+\end{bmatrix} + 2
+\begin{bmatrix}
+    -1 \\\\
+    1
+\end{bmatrix} = 
+\begin{bmatrix}
+    -4 \\\\
+    1
+\end{bmatrix}
+$$
+
+这一流程实质就是矩阵的乘法，而这个矩阵的列表示的就是在我们基向量下表达的她的基向量
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%9F%BA%E5%8F%98%E6%8D%A2/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E8%BF%87%E7%A8%8B%E7%9A%84%E8%A7%A3%E9%87%8A.gif)
+
+将我们视角下的目标向量变换成对方基向量下表示的向量
+
+如何从对方视角转换为自己的视角
+
+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%9F%BA%E5%8F%98%E6%8D%A2/%E5%AF%B9%E6%96%B9%E8%A7%86%E8%A7%92%E8%BD%AC%E6%8D%A2%E8%87%AA%E5%B7%B1%E7%9A%84%E8%A7%86%E8%A7%92.gif)
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+基变换矩阵是对方视角的基向量作为列的矩阵
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+![](../../static/images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%9F%BA%E5%8F%98%E6%8D%A2/%E5%8F%8D%E5%90%91%E8%BD%AC%E6%8D%A2.png)
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+![](../../static/images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%9F%BA%E5%8F%98%E6%8D%A2/%E6%B5%81%E7%A8%8B%E6%A6%82%E8%BF%B0.gif)
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+### 不同基向量转化矩阵
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+首先应用基变换，然后线性变换最后应用基变换的逆，这三个矩阵复合给出的便是对方基向量描述的线性变换矩阵
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+![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E5%9F%BA%E5%8F%98%E6%8D%A2/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%BD%AC%E5%8C%96%E6%B5%81%E7%A8%8B.gif)
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+这一转化过程能对对方基向量描述下的任一向量做一样的流程输出对方基向量描述下的变换后的向量
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+由此可见表达式$A^{-1}MA$往往暗示一种数学上的转移作用，中间的矩阵表示变换，包围的两个矩阵表示基向量的转换