Update 公式大全.md

content/mathematics/公式大全.md

@@ -45,6 +45,16 @@ date: 2022-12-24T13:05:40+08:00
       - [原函数和不定积分的基本概念](#原函数和不定积分的基本概念)
       - [不定积分的基本性质](#不定积分的基本性质)
       - [不定积分的基本积分公式](#不定积分的基本积分公式)
+      - [不定积分计算方法](#不定积分计算方法)
+      - [第一类换元法（凑微分法）](#第一类换元法凑微分法)
+        - [第二类换元法（变量置换法）](#第二类换元法变量置换法)
+          - [三角代换](#三角代换)
+          - [根式代换](#根式代换)
+          - [倒代换](#倒代换)
+          - [指数代换](#指数代换)
+          - [万能代换](#万能代换)
+        - [组合积分法](#组合积分法)
+      - [值得记忆的定积分公式](#值得记忆的定积分公式)
 - [线性代数](#线性代数)
   - [行列式](#行列式)
     - [行列式定义和性质](#行列式定义和性质)
@@ -310,6 +320,116 @@ date: 2022-12-24T13:05:40+08:00
 13. $\int {\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx=\arcsin \frac{x}{a} +C(a>0)$，$\int {\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \arctan x +C$
 14. $\int {\frac{dx}{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{a+x}{a-x}| +C$
 15. $\int {\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2 \pm a^2}| +C$
+16. $\int e^{ax}\cos bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left[a\cos bx + b \sin bx \right] + C$
+17. $\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left[a\sin bx + b \cos bx \right] + C$
+
+
+#### 不定积分计算方法
+
+#### 第一类换元法（凑微分法）
+
+常见凑微分
+
+1. $\int (x^n)\cdot x^{n-1} dx = \frac{1}{n} \int f(x^n)dx^n$
+2. $\int f(\sqrt{x^3} ) \cdot \sqrt{x}dx = \frac{2}{3}\int f(\sqrt{x^3})d\sqrt{x^3}$
+3. $\int(x+\sin x) \cdot (1+\cos x) dx = \int f(x+ \sin x)d(x+\sin x)$
+4. $\int \frac{g(x)}{(1+x)^2}dx = \int g(x)d(-\frac{1}{1+x})$
+5. $\int \frac{g(x)}{1-x^2}dx = \int g(x)d(\ln \frac{1+x}{1-x})$
+6. $\int f(ax^2+bx+c) \cdot (2ax+b)dx = \int f(ax^2+bx+c)d(ax^2+bx+c)$
+7. $\int g(x) \cdot e^x(1+x)dx = \int g(x)d(xe^x)$
+8. $\int f(x+\frac{1}{x}) \cdot (1-\frac{1}{x^2})dx = \int xf(x+\frac{1}{x})d(x+\frac{1}{x})$
+9. $\int f(x+\frac{1}{x}) \cdot (x-\frac{1}{x})dx = \int xf(x+\frac{1}{x})d(x+\frac{1}{x})$
+10. $\int g(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx = \int g(x)d\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
+11. $\int g(x) \cdot \frac{1}{1+x^2}dx = \int g(x)d\arctan x = -\int g(x)d\arctan \frac{1}{x}$
+12. $\int f(1-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x(x-1)}dx = \int f(1-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2}dx = \int f(1-\frac{1}{x})d\ln(1-\frac{1}{x})$
+
+##### 第二类换元法（变量置换法）
+
+**_计算后必须回代_**
+
+###### 三角代换
+
+1. 若$R(-\sin x , \cos x) = -R(\sin x,\cos x)$,令$u=\cos x$或凑微分$d\cos x$
+2. 若$R(\sin x , -\cos x) = -R(\sin x,\cos x)$,令$u=\sin x$或凑微分$d\sin x$
+3. 若$R(-\sin x , -\cos x) = R(\sin x,\cos x)$,令$u=\tan x$或凑微分$d\tan x$
+
+或
+
+1. 被积函数含有$\sqrt{a^2-x^2}$,令$x=a\sin t (或a \cos t)$
+2. 被积函数含有$\sqrt{a^2+x^2}$,令$x=a\tan t $
+3. 被积函数含有$\sqrt{x^2 - a^2}$,令$x=a\sin t$
+
+###### 根式代换
+
+对根式进行代换
+
+如$\int\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^3}$
+
+取$t=x^{\frac{1}{6}},t^6 = x => dx=6t^5dt$
+
+###### 倒代换
+
+将x替换为对应倒数(通常分母次数比分子高)
+
+例如$\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}}dx$
+
+令$x = \frac{1}{t}$,则$dx = -\frac{dt}{t^2}$
+
+###### 指数代换
+
+将指数替换为t
+
+例如$\int \frac{1}{\sqrt{1+e^x}}dx$
+
+$\int \frac{1}{e^x\sqrt{1+e^x}}dx = \int \frac{de^x}{e^x\sqrt{1+e^x}} \underrightarrow{t = e^x} \int \frac{dt}{t\sqrt{1+t}} $
+
+###### 万能代换
+
+对于形如$\int R(\cos x ,\sin x)dx$的不定积分
+
+可换元
+
+$$
+\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}
+$$
+
+$$
+\sin x = \frac{2t}{1+t^2}
+$$
+
+原积分转化为$\int R(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$
+
+##### 组合积分法
+
+对于
+
+$$
+\int \frac{dx}{(ax+b)(mx+n)}
+$$
+
+可令
+
+$$
+I=\int \frac{dx}{(ax+b)(mx+n)}
+$$
+
+$$
+J=\int \frac{xdx}{(ax+b)(mx+n)}
+$$
+
+$$
+\begin{cases}
+  bI+aJ = \int \frac{(ax+b)dx}{(ax+b)(mx+n)} = \frac{1}{m} \ln|mx+n|+C_1 \\\\
+  nI+mJ = \int \frac{(mx+n)dx}{(ax+b)(mx+n)} = \frac{1}{a} \ln|ax+b|+C_2
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+I = \frac{1}{bm-an} \ln|\frac{mx+n}{ax+b}| +C
+$$
+
+#### 值得记忆的定积分公式
+
 
 
 ---