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《考研数学二》公式大全 2022-12-24T13:05:40+08:00
目录

高等数学

函数，极限，连续

函数

函数的定义

设在某个过程中有两个变量x和y，对变量x在允许的范围内的每一个确定的值，变量y按照某一确定的法则总有相应的值与之对应，则称y为x的函数，记为y=f(x)

线性代数

行列式

行列式定义和性质

行列式定义

n阶行列式


\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix}
= \sum_{(j_1,j_2,\cdots j_n)}(-1)^{(j_1,j_2,\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj}

\sum_{(j_1,j_2,\cdots j_n)}表示对所有n级排列求和

行列式性质

  • 行列互换，行列式的值不变，也即D=D^T
  • 任意两行（列）互换位置后，行列式改变符号
    • 如果行列式中有两行（列）对应元素相同，则行列式的值为0
  • 将行列式的某一行（列）乘以一个常数k后，行列式的值变为原来的k倍
    • 如果行列式的某一行（列）全为0，则行列式的值等于0
    • 行列式的某两行（列）元素对应成比例，则行列式的值等于0
  • 如果行列式某一行（列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）分别对应两个加数，其余行（列）与原行列式相等

\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \ddots & a_{in}+b_{in} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
    b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\\\
    \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix}
  • 将行列式的某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变

行列式展开定理

余子式及代数余子式

在n阶行列式D=|a_{ij}|中，划掉a_{ij}所在第i行和第j列的所有元素后，余下(n-1)^2个元素按照原有次序构成一个(n-1)阶行列式，称为元素a_{ij}在D中的余子式，记作M_{ij}


M_{ij} = 
\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} &  \cdots & a_{2(j-1)} & a_{2(j+1)} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \vdots& \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\\\
    a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2} & \cdots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \cdots & a_{(i-1)n} \\\\
    a_{(i+1)1} & a_{(i+1)2} & \cdots & a_{(i+1)(j+1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \cdots & a_{(i+1)n} \\\\
     \vdots & \vdots & \vdots& \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix}

记作A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}，称作元素a_{ij}的代数余子式

行列式按一行（列）展开

n阶行列式D等于其任一行（列）各元素与其代数余子式乘积之和

D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots +a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}(i=1,2,\cdots,n)=a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots +a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}(j = 1,2,\cdots,n)

推论：

行列式D的某一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零


\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}= a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} + \cdots +a_{in}A_{kn} = 0 (i\not ={k})


\sum_{j=1}^na_{ji}A_{jk}= a_{1i}A_{1k} + a_{2i}A_{2k} + \cdots +a_{ni}A_{nk} = 0 (i\not ={k})

特殊行列式

上三角、下三角、对角形行列式

$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $

次对角线行列式

$ \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & 2_{2(n-1)} & 0\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{nn} & \cdots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} & 0\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2(n-1)} & a_{2n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n(n-1)} & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}\cdots a_{n1} $

范德蒙德行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\leq i < j \leq n}(a_j-a_i) $

拉普拉斯展开式

$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} & & O_{k\times l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\ c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k} & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ c_{l1} & c_{l2} & \cdots & c_{lk} & b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \\ \end{vmatrix} $

$ \begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k} & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ c_{l1} & c_{l2} & \cdots & c_{lk} & b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} & & O_{k\times l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix} = (-1)^{kd} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \\ \end{vmatrix} $

行列式有关的重要公式

设A，B均为n阶方阵，k为常数，E为n阶单位矩阵,A*为A的伴随矩阵

  • |kA| = k^n \cdot {|A|}
  • 若A是可逆矩阵，则有|A^{-1} = \frac{1}{|A|}
  • |A \cdot B| = |A| \cdot |B|
  • |A*| = |A|^{n-1}
  • A \cdot A* = A* \cdot A = |A| \cdot E
  • |A| = \prod_{i=1}^n\lambda_i(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是A的全部特征值)
  • |A|\not ={0}\iff A为可逆矩阵\iff$A为满秩矩阵，即$r(A) = n

矩阵

矩阵定义与运算

矩阵定义

由m$\times$n个数a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)排列成的m行n列的数表


\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\\\
    \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}  \\\\
\end{vmatrix}

称为m$\times$n矩阵，记为A=(A_{ij})_{m\times n},其中a_{ij}称为矩阵A的第i行第j列的元素

  1. 当n=m时，A也称为n阶方阵，|A|称为A的行列式
  2. 两个矩阵A=(a_{ij}),B=(b_{ij})_{s\times k},如果m=s，n=k，则称它们为同型矩阵
  3. 如果两个同型矩阵A=a_{ij},B=(b_{ij}){ m \times n}对应的元素相等，也即a_{ij} = b_{ij}(i=1,\cdots,mj=1,\cdots,n),则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B

常见的特殊矩阵：

  • 零矩阵，所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O
  • 对角矩阵：主对角线以外的元素均为0的矩阵，称之为对角矩阵，即$$diag(a_1,a_2,\cdots,a_n) = \begin{pmatrix} a_1 \\ & a_2 \\ & & \vdots \\ & & & a_n \end{pmatrix}两个对角矩阵的乘积仍是对角矩阵
  • 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称之为单位矩阵，记作E。单位矩阵与任何矩阵相乘都可以交换，即$EA=AE=A$
  • 上（下）三角矩阵，主对角线以下的元素全为0的矩阵称之为上三角矩阵，主对角线以上的元素全为0的矩阵称为下三角矩阵
  • 对称矩阵：满足条件A^T = A的n阶矩阵A称为对称矩阵，即A为对称矩阵\iff a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n)
  • 反对称矩阵：满足条件A^T=-A的n阶矩阵A称为反对称矩阵，即A=(a_{ij})_{ n\times n }(i,j=1,2,\cdots,n)
  • 正交矩阵：设A是n阶矩阵，如果AA^T = A^TA=E，则称A是正交矩阵

矩阵运算

矩阵加法(两个相加的矩阵必须同型)

设A=(a_{ij}),B=(b_{ij})是两个m\times n矩阵，定义矩阵C=(c_{ij}) = (a_{ij}+b_{ij})为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B

  • 运算性质
    • A+B=B+A（交换律）
    • (A+B)+C = A+(B+C)（结合律）
    • A + O = A（其中O=(0)_{m\times n}
    • A + (-A) = O（其中-A = (-a_{ij})_{m\times n}
矩阵的数乘

设A=(a_{ij})是一个m\times n矩阵，k为任意实数，则定义kA = (ka_{ij})(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)为矩阵的数乘

  • 运算性质
    • k(lA) = (kl)A = l(kA)(k,l为数)
    • (A+B)+C=A+(B+C)
    • k(A+B) = KA+KB
    • (k+l)A = KA+A
矩阵的乘法

设

A=(a_{ij})_{m \times n}

B=(b_{ij})_{n \times k}

定义矩阵C=(c_{ij})_{m\times k},其中

c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}+b_{nj}=\sum^n_{k=1}a_{ik}b_{kj}

称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB

  • 数乘的运算性质
    • (AB)C = A(BC)
    • A(B+C) = AB+AC
    • (B+C)A = BA+CA
    • (KA)B = A(KB) = K(AB)

注：

  1. 两个相乘的矩阵AB必须保证A的列数和B的行数相等
  2. 矩阵乘法一般不满足交换律，AB$\not ={BA}$
  3. 矩阵的运算不满足消去律，即由AB=AC且A$\not ={O}$得不出B=C
  4. 零因子定律不成立，即由AB=O不能得到A=O或B=O
方阵的乘幂运算

如果矩阵A为方阵，则定义A^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n个A}为矩阵A的n次幂，规定A^0 = E

  • 运算性质
    • A^K \cdot A^l = A^{k+l}
    • (A^k)^l = A^{kl}
    • 一般情况下，(A \cdot B)^k \not ={A^k \cdot B^k}
矩阵的转置

设$A_{m \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}_{m \times n}$

定义A的转置矩阵为

$A^T=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}_{m \times n}$

即转置矩阵A^T的第i行第j行元素等于原矩阵A的第j行第i列元素

  • 运算规则
    • (A^T)^T = A
    • (A+B)^T = A^T+B^T
    • (AB)^T = B^TA^T
    • (kA)^T = k \cdot A^T
方阵的行列式

若

A=(a_{ij})_{m \times n}

B=(b_{ij})_{n \times k}

则

$|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}$

且|kA|=k^n|A|,|AB|=|A||B|

矩阵的求逆运算
逆矩阵定义定理

若AB均为n阶方阵，且满足AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，又称B是A的逆矩阵，记作B=A^{-1}

  1. 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A^{-1}是唯一的
  2. 矩阵A可逆的充分必要条件是|A|\not ={0}
  3. 若|A|\not ={0},则A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* ,其中$$A^*=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{bmatrix}称为A的伴随矩阵（其中A_{ij}是元素a_{ij}的代数余子式）
  4. 由 A^* 构造可得公式 AA^ * = A^*A=|A|E
运算规则

若AB均为n阶可逆矩阵

  1. (A^{-1})^{-1}=A
  2. 若k\not ={0}为常数，则 (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}
  3. (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  4. A^T也可逆，且 (A^T)^{-1} = (A^{-1})^{T}
  5. |A^{-1}|=|A|^{-1}

矩阵的秩

k阶子式的定义

在A_{m\times n }中，任取k行、k列，在这k行k列的交错处有k^2个元素，这k^2个元素按原有的次序构成一个k阶行列式，称为A的一个k阶子式

矩阵的秩的定义

在A_{m\times n }中，至少有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，则称A的秩的位r，记作rank(A) = r，简记为r(A) = r或R(A)=r

矩阵在运算后秩的变化规律

  1. r(A^T)=r(A)
  2. r(A_{m \times n}) \leq \min{(m,n)}
  3. r(A)=0\iff A=O
  4. $r(kA) = \begin{cases} r(A),k\not = 0 \\ 0,k=0 \end{cases}$
  5. r(A+B)\leq r(A) + r(B)
  6. R(A+B) \leq \min{(r(A),r(B))}
  7. 若有矩阵A_{m\times n},B_{n \times s}且AB=O,则r(A)+r(B) \leq n
  8. 若PQ为满秩方阵，则r(PA) = r(A) = r(AQ)=r(PAQ)
  9. 初等变换不改变矩阵的秩，若B式阶梯型矩阵，则r(B)等于B中非零行的个数
  10. 伴随矩阵A^* 的秩 $r(A^*) = \begin{cases} n,r(A) = 0 \\ 1,r(A) = n-1 \\ 0,r(A) \leq n-2 \end{cases}$

分块矩阵

分块矩阵定义

用贯穿矩阵的横线和纵线把一个矩阵分为若干小块，每个小块称为原矩阵的子块，一般记作A_{ij},分成字块的矩阵叫做分块矩阵，


A=
\left[
\begin{array}{cc:cc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\
  \hdashline a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\
  a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} 
\end{array}
\right] =
\begin{bmatrix}
  A_{11} & A_{12} \\\\
  A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}_{2\times 2} = 
(A\_{ij})\_{2 \times 2}


A=
\left[
\begin{array}{c:c:c:c}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\
  a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} 
\end{array}
\right] =(p_1,p_2,p_3,p_4)\_{1 \times 4}

分块矩阵的运算

加法

A,B$\in M_{m,n}且有相同的分块划分方法$A=(A\_{ij})\_{s\times t},B=(B\_{ij})\_{s\times t}则A+B=(A_{ij}+B_{ij})\_{s \times t}(每个对应字块可以相加)

数乘

设A=(A\_{ij})\_{s\times t}则kA=(kA\_{ij})\_{s \times t}

转置

若


A=
\begin{bmatrix}
  A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\\\
  A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{st}
\end{bmatrix}

则


A^T=
\begin{bmatrix}
  A^T_{11} & A^T_{21} & \cdots & A^T_{s1} \\\\
  A^T_{12} & A^T_{22} & \cdots & A^T_{s2} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  A^T_{1s} & A^T_{2s} & \cdots & A^T_{st}
\end{bmatrix}

即分块矩阵先转置后，再将每个子矩阵分别单独转置

乘法

A=
\begin{bmatrix}
  A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\\\
  A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{st}
\end{bmatrix} =
(A\_{ij})\_{s\times t} \in M\_{m \times n}


B=
\begin{bmatrix}
  B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r} \\\\
  B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr}
\end{bmatrix} =
(B\_{jK})\_{t\times r} \in M\_{m \times n}


C=AB =
\begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1r} \\\\
  C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2r} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  C_{s1} & C_{s2} & \cdots & C_{sr}
\end{bmatrix}

其中C_{ik} = A_{i1}B{1k} + A_{i2}B_{2k}+\cdots + A_{it}B_{tk} = \sum^t_{j=1}A_{ij}B_{jk}(i=1,\cdots,s;k=1,\cdots,r)

分块对角形（对角块）矩阵

一般地，分块矩阵$A=\begin{bmatrix} A_{11} & O & \cdots & O \\ O & A_{22} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ O & O & \cdots & A_{ss} \end{bmatrix}$

简记为$A=\begin{bmatrix} A_{11} & & & \\ & A_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{ss} \end{bmatrix}其中$A_{ij}均为小方阵，则称A为对角块矩阵或分块对角形矩阵，若AB均为对角块矩阵，则A+B，AB也为对角块矩阵

$A+B = \begin{bmatrix} A_{1} & & & \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{s} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_{1} & & & \\ & B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_{s} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1}+B_{1} & & & \\ & A_{2}+B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{s}+B_{s} \end{bmatrix} $

A_i,B_i为同阶子矩阵

$AB = \begin{bmatrix} A_{1} & & & \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{s} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{1} & & & \\ & B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_{s} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1}B_{1} & & & \\ & A_{2}B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{s}B_{s} \end{bmatrix}$

对角块矩阵的逆矩阵公式（设A_1,A_2,A_3均可逆）

\begin{bmatrix}
  A_{1} &  &  &  \\\\
   & A_{2} &  &  \\\\
   &  &  & A_{3}
\end{bmatrix}^{-1} =
\begin{bmatrix}
  A_{1}^{-1} &  &  &  \\\\
   & A_{2}^{-1} &  &  \\\\
   &  &  & A_{3}^{-1}
\end{bmatrix} 


\begin{bmatrix}
   &  &  & A_{1}  \\\\
   & A_{2} &  &  \\\\
   A_{3} &  &  & 
\end{bmatrix}^{-1} =
\begin{bmatrix}
   &  &  & A_{1}^{-1}  \\\\
   & A_{2}^{-1} &  &  \\\\
   A_{3}^{-1} &  &  & 
\end{bmatrix}

矩阵初等变换与初等矩阵

初等行（列）变换

对矩阵施加三种行（列）变换

  1. 交换变换：互换矩阵中的某两行（列）
  2. 倍乘变换：用一个非零常数k乘矩阵的某行（列）
  3. 倍加变换：将矩阵的某行（列）的k倍加到另一行（列）上

阶梯形矩阵

形如


\begin{bmatrix}
  0 & 1 & 3 \\\\
  0 & 0 & 2 \\\\
  0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
  1 & 2 & -1 & 2 & 5 \\\\
  0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\
  0 & 0 & 0 & 4 & 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & -1 \\\\
  0 & 2 & 3 \\\\
  0 & 0 & 3
\end{bmatrix}

的矩阵称为阶梯形矩阵

特征：

  1. 全零行位于矩阵的最下方
  2. 每个非零行的第一个非零元素c_{ij}（主元）的列标j随着行标i的递增而严格增大
  3. 任一个矩阵经过若干次初等行（列）变换都可以化成阶梯形矩阵

初等矩阵

单位矩阵做了一次初等行（列）变换的矩阵

初等行交换矩阵

将单位矩阵的第i行，第j行交换后得到的矩阵，记作


p((i)\leftrightarrow(j)) = \begin{bmatrix}
  1 & & & \\\\
    & \ddots & & \\\\
    & & 0 &\cdots & 1 & &\\\\
    & &\vdots & &\vdots & & \\\\
    & & 1 & \cdots & 0 & & \\\\
    & & & & & \ddots \\\\
    & & & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：将初等行变换矩阵左乘A，即p((i)\leftrightarrow(j))A=A_1,A_1就是将A的第i行、第j行交换后的结果

初等行倍乘矩阵

将单位矩阵的第i行乘以不为零的常数k后所得到的矩阵，记


P((k(i))) = \begin{bmatrix}
  1 & \\\\
    & \ddots \\\\
    & & k \\\\
    & & & \ddots \\\\
    & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：若P(k(i))A = A_2，则A_2就是将A的第i行乘上k倍后的结果

初等行倍加矩阵

将单位矩阵第i行的k倍加到第j行后所得到的矩阵，记作


P(k(i)+(j)) = \begin{bmatrix}
  1 \\\\
  & \ddots \\\\
  & & 1 \\\\
  & & \vdots & \ddots \\\\
  & & k & \cdots & 1 \\\\
  & & & & & \ddots \\\\
  & & & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：若P(k(i)+(j))A = A_3,则A_3就是将A的第i行的k倍加到第j行上的结果

初等列交换矩阵

将单位矩阵第i行与第j列交换后所得到的矩阵，记作


Q((i)\leftrightarrow(j)) = \begin{bmatrix}
  1 & & & \\\\
    & \ddots & & \\\\
    & & 0 &\cdots & 1 & &\\\\
    & &\vdots & &\vdots & & \\\\
    & & 1 & \cdots & 0 & & \\\\
    & & & & & \ddots \\\\
    & & & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：将初等列交换矩阵右乘A，即若AQ((i)\leftrightarrow(j))=A_4则A_4就是将A的第i列与第j列交换后的结果

初等列倍乘矩阵

将单位矩阵的第i列乘以一个不等于零的常数k后得到的矩阵，记作


Q((k(i))) = \begin{bmatrix}
  1 & \\\\
    & \ddots \\\\
    & & k \\\\
    & & & \ddots \\\\
    & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：若AQ(k(i)) = A_5，则A_5就是将A的第i列乘上k倍后的结果

初等列倍加矩阵

将单位矩阵的第i列的k倍加到第j列后得到的矩阵，记作


Q((i)+(j)) = \begin{bmatrix}
  1 & & & \\\\
    & \ddots & & \\\\
    & & 1 &\cdots & k & &\\\\
    & & & \ddots &\vdots & & \\\\
    & &  &  & 1 & & \\\\
    & & & & & \ddots \\\\
    & & & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：若AQ(k(i)+(j)) = A_6则A_6就是将A的第i列的k倍加到第j列上的结果

初等行变换与初等列变换矩阵的关系

  1. P((i)\leftrightarrow(j))=Q((i)\leftrightarrow(j))=Q^T((i)\leftrightarrow(j))
  2. P(k(i))=Q(k(i))=Q^T(k(i))
  3. P(k(i)+(j))=Q^T(k(i)+(j))

即：初等行变换矩阵与同类型的初等列变换矩阵之间为转置关系

定理

  1. 初等矩阵都是可逆矩阵
  2. 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵
  3. 任一个可逆矩阵经过有限次的初等行变换都可以化成单位矩阵
  4. 一个可逆矩阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积

初等行（列）变换法求矩阵的秩

初等行（列）变换不改变矩阵的秩

矩阵的初等行（列）变换前后，矩阵的秩是相等的，而阶梯形矩阵的秩等于阶梯形矩阵中非零行的个数，有任一个矩阵都可经过若干次初等行（列）变换成阶梯型矩阵，因此任一个矩阵的值都可以通过初等行（列）变换成阶梯形矩阵后方便地取得

矩阵关系

等价
  • 定义
    • 若矩阵A可以经过一系列初等行（列）变换后化成矩阵B，则称矩阵AB是等价的，记作A\cong B
  • 性质
    • A \cong A
    • A\cong B则B \cong A
    • A\cong B,B \cong C 则 A\cong C
    • 同型矩阵A与B等价\iff r(A)=R(B)
相似
  • 定义
    • 对于同阶方阵A,B，若存在|P|\not ={0}，使P^{-1}AP=B,则称A与B相似，记作A\backsim B
  • 性质
    • A\backsim B
    • A\backsim B,则B \backsim A
    • A\backsim B,B \backsim C则A \backsim C
    • 若A\backsim B则A^T\backsim B^T
    • 若AB可逆且A\backsim B，则A^{-1}\backsim B^{-1}
    • A\backsim B \Rightarrow A^n \backsim B^n，n为正整数
    • 相似矩阵右相同的特征值
    • 相似矩阵的行列式、秩相等
    • 同阶实对称矩阵相似的充要条件是它们有相同的特征值
合同
  • 定义
    • 对于同阶方阵AB，若存在|P|\not ={0},使P^TAP=B则称A与B合同，记为A\cong B
  • 性质
    • A \cong A
    • A\cong B则B \cong A
    • A\cong B,B \cong C 则 A\cong C
    • 同阶实对称矩阵合同的充要条件是秩相等且正惯性指数相等

矩阵等价、相似、合同的关系

  • 相似\iff等价
  • 合同\iff等价
  • 若A与B都是实对称矩阵，则A与B相似$\iff$A与B合同

矩阵特征值与特征向量

  • 定义
    • 若存在非零向量\alpha，使A \alpha = \lambda \alpha,则称\lambda为方阵A的特征值，\alpha是A的属于特征值\lambda的特征向量
  • 性质
    • 若\lambda是A的特征值，则\lambda^k是A^k的特征值
    • 若\lambda \not ={0}是A的特征值，则\lambda^{-1}是A^{-1}的特征值
    • 若\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是A的特征值，则\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}(A的迹)\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|
    • A与A^T有相同的特征值
    • 矩阵A属于不同特征值的特征向量必线性无关
    • 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交

矩阵可逆的充要条件

A可逆\iff|A|\not ={0} \iff A=P_1P_2\cdots P_l，其中P_i(i=1,2,\cdots,l)为初等矩阵\iff A \backsim E(E为n阶单位矩阵)

矩阵等价的充要条件

A\cong B \iff存在可逆矩阵P,Q使PAQ=B$\iff$r(A) = r(B)

向量

n维向量定义及其运算

向量定义及其线性运算

  1. 向量定义

$ n个数a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n组成一个有次序的数组，称为一个n维向量，用\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)(称为行向量)或\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)^T(称为列向量)来表示。称a_i为第i个分量，若干个同维列向量(或同维行向量)组成的集合称为向量组 $

  1. 向量加法

$ \alpha + \beta = (a_1,a_2,\cdots,a_n)+(b_1,b_2,\cdots,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n) $

  1. 数乘向量

j\alpha = k(a_1,a_2,\cdots,a_n) = (ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)

线性组合与线性表出

向量组的线性组合

有一组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s及一组数k_1,k_2,\cdots,k_s称k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s为向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s的一个线性组合

线性表出（线性表示）

若向量\beta可表示为向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s的一个线性组合，即有k_1,k_2,\cdots,k_s存在，使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s成立，则称向量\beta$可由向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性表出（线性表示）

  1. 一个向量\beta能否由一个向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性表示，等价于以k_1,k_2,\cdots,k_s为未知量的的线性方程组k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s是有解还是无解
  2. 若\beta可由\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性表示，其表现形式是唯一且是无穷多种形式，等价于线性方程组k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s在有解时值有唯一解且是无穷多组解
向量组的等价

若向量组（I）\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s中每一个向量\alpha_j(j = 1,2,\cdots,s)均可由向量组(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t线性表示，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示

若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，向量组(II)也由向量组(I)线性表示，则称向量组(I)也于向量组(II)为等价向量组，记作：(I)\cong(II)

向量组的等价存在以下性质：

  • 自反性
    • 任一个向量组于自身必等价
  • 对称性
    • 若向量组(I)\cong(II)，则(II)\cong(I)
  • 传递性
    • 若向量组(I)\cong(II)，向量组(II)\cong(III),则向量组(I)\cong(III)

向量组的线性相(无)关性

线性相关性的定义

现有s个n维向量\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s，若存在着一组不全为零的数组k_1,k_2,\cdots,k_s，使k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0成立，则称向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s是线性相关的向量组

现有s个n维向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s，若存在着一组不全为零的数组k_1,k_2,\cdots,k_s，使k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\not ={0}成立,或若使k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0成立，只有k_1=0,k_2=0,\cdots,k_s=0,则称向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s是线性无关的向量组

线性相关性判断定理
  • 判定定理1
    • s个n维向量\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性相关（无关）的充要条件为对应的齐次线性方程组k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0有非零解（或只有零解）
    • 推论
      • n个n维向量\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性相关（无关）的充要条件是行列式|A|=|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|=0(或\not ={0})
  • 判定定理2
    • 向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性相关（或无关）的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示（或没有一个向量可由其余向量线性表示）
一些重要定理与结论
  1. 包含零向量的向量组必定线性相关
  2. 包含两个相等向量的向量组必定线性相关
  3. 若一个向量组线性相关，则加上任意多个向量后，新加向量组仍线性相关（部分相关，全体必相关）
  4. 一个向量组线性无关，取出其中任何一部分也必线性无关（全体无关，部分必无关）
  5. 任意n+1个n维向量必线性相关（个数大于维数的向量组必线性相关）
  6. 一个向量组线性无关，则在相同位置出增加一个分量后得到的新向量组（可称加长组）仍线性无关
  7. 一个向量组线性相关，则在相同位置处去掉一个分量最后得到的新向量组（缩短组）仍线性相关
  8. 若\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性无关，而\beta,\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性相关，则\beta必可由\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s唯一地线性表示
  9. 设有向量组(I)\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s，向量组(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t中每个向量都可由向量组(I)线性表示，且t>s,则向量组(II)必线性相关
  10. 若\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t可由\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性表示，且\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t线性无关，则t$\leq$s