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title: "路径追踪"
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date: 2022-07-24T15:01:07+08:00
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### 概率论基础复习
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在路径追踪的计算中需要引入部分概率论内容，在此进行部分复习
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#### 随机变量
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* 随机变量：一个值，表示某些事件发生
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* $x \backsim p(x)$ ：随机变量的分布，随机变量取到某个值的可能性
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例如：对于一个骰子，共有6个面，每个面在上面的概率相等，都为1/6
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#### 概率
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* 概率必定为非负
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* 所有事件的发生概率和为1
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$$p_i \geq 0$$
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$$\sum_{i = 1}^n p_i = 1$$
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例如：对于上述的骰子，概率为$p_i = \frac{1}{6}$
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#### 随机变量的期望
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如图，对于这四个可供选择的长方形，每一个选择有一个值为$X_i$,每一个选择都对应一个概率为$p_i$,那么期望则为将所有值乘以其对应的概率后累加得到的数值
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可见上图的期望值为
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$$E[X] = \sum_{i = 1} ^ n x_ip_i$$
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例如：一个骰子可以取值1、2、3、4、5、6,每一个取值的概率都是1/6,期望为
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$$E[X] = \sum_{i=1}^n \frac{i}{6} = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5$$
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#### 概率密度函数
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随机变量的取值可以是一些固定的值(离散型)，也可以是下图所示一些连续的值(连续型)
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某一位置的概率为其周围一小段微元与曲线相连线形成的梯形面积
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上面这条曲线P(x)即为概率密度函数(简称PDF)
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概率密度在所有值上的积分等于1，与概率和为1类似
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期望的计算则是用任意一个取值乘以概率密度，并加以积分
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对于满足下列条件的P(x)
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$$p(x) \geq 0 \\ \\ and \int p(x)dx = 1$$
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期望值为
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$$E[X] = \int x P(x)dx$$
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当一个函数本身是随机变量时：
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例如一个随机变量满足一定的PDF
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$$X \backsim p(x)$$
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另外一个函数为
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$$Y = f(X)$$
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此时Y的期望为
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$$E[Y] = E[f(X)] = \int f(x)p(x)dx$$
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### 蒙特卡洛积分(Monte Carlo Integration)
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#### 使用理由
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计算给定函数的定积分时，如果$f(x) = x^2$,就可以计算出不定积分为$\frac{1}{3}X^3 + 常数$，之后利用不定积分即可求出它在a和b的值，两者相减即得积分
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若函数较为复杂，如下图所示，不便于使用解析方法，就要使用数值的方法计算(蒙特卡洛积分)
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#### 大致流程
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黎曼积分：
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将上图a和b之间均匀拆分为100份，取每一份的中间位置，找到对应的Y(即将整个曲线下方面积分解为各个小长方形面积之和)
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蒙特卡洛积分：
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* 在a和b之间随便取一个数，找到这个数对应的f(x)
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* 假设整个曲线为一个长方形，长方形高度为刚才去的值的对应位置高度，长方形宽度视为a到b的长度，利用长方形面积近似曲线下围面积
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* 将第二步重复多次，在a到b区间采样多次，将得到的长方形面积平均求值，就可以得到相对准确的结果
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#### 定义
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定积分f(x)，即从a到b的值：
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$$\int_a^b f(x)dx$$
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x的积分域在ab区间，对概率密度函数随机采样一个变量，得到Xi
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$$随机变量 \\ \\ \\ X_i \backsim p(x)$$
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蒙特卡洛积分可近似为下列式子，即$f(Xi)/p(xi)$的平均
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$$F_N = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N {\frac{f(X_i)}{p(X_i)}}$$
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#### 特殊情况
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* 在a到b之间均匀采样时，我们使用的概率密度函数(PDF)在各处的值相等，即为一个常数，又已知PDF在积分域上的积分值为1，此PDF可解出值为$\frac{1}{(b-a)}$
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* 采用蒙特卡洛积分计算时，需要知道f(Xi)和p(Xi),随机采样得到的值为Xi,蒙特卡洛积分只需计算f(Xi)除以p(Xi)的平均值，p(Xi)的值始终为$\frac{1}{(b-a)}$
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$$F_N = \frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^Nf(X_i)$$
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#### 总结
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蒙特卡洛积分：
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只需积分域内使用一个PDF采样，得到该样本的f(Xi)和概率密度P(Xi)的值，两者相除后取平均值
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注意：
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1. N越大(采样次数越多)，得到的结果越精准
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2. 积分域是定义在X上的积分，所以采样目标一定是X
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### 路径追踪(path tracing)
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#### Whitted-Style Ray Tracing 存在的问题
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* Whitted-style Ray Tracing 对Specular(镜面)材质的表现效果是正确的，而glossy(磨砂)材质的效果则表现不正确
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Specular材质：光线在物体表面能发生镜面反射则称为此材质，光线在打在表面时，会沿着镜面反射方向离去，也是镜面能够映出周围环境光的原因
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Glossy材质：有镜面反射的样子，但又有些许模糊，类似毛玻璃效果，有一定粗糙度但能产生高光
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* whitted-style ray tracing 在遇到漫反射时会停止光线弹射直接做相应的shading
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这种情况会忽视漫反射物体和漫反射物体之间的光线都不被渲染，也不符合漫反射将光线均匀地反射到各个不同方向上的物理定义
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两个示例中左侧为直接光照，右侧为全局光照，都采用路径追踪的方式计算得到
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可见在场景中只有上面一个光源的情况下，在直接光照里，天花板为黑色，但实际上光线会发生多次弹射，天花板应是亮的，右侧才是我们想要的效果
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Color bleeding: 左侧全局光照图中高立方体左侧是红，光线在弹射到墙面后再反射到这个面，之后到达摄像头(眼睛)，z这种现象就为Color bleeding
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Cornell box真实存在，3D模型也是存在的，广泛用于测试各种全局光照效果
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两中表现效果错误来自于Whitted-style ray tracing的光线弹射计算
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1. 光线打到specular的物体上，会沿着镜面方向反射或沿着折射方向折射
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2. 光线打到diffuse(漫反射)的物体上，这条光线就停止了
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虽然存在错误，但完全按照物理量推算的渲染方程是完全正确的，为了正确计算，我们要解出这个渲染方程
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$$L_o(p,w_o) = L_e(p,w_o) + \int_{\Omega+} {L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w_i)dw_i}$$
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#### 蒙特卡洛积分分解渲染方程
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##### 直接光照
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假设存在下图场景，我们认为各个方向进来的光$\omega i$ 均匀分布在球面上
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* 假设该点不发光，因而直接光照强度结果来自于四面八方入射来的光照强度
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忽略渲染方程发光项后的形式
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$$L_o(p,w_o) =\int_{\Omega+} {L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w_i)dw_i}$$
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###### 使用蒙特卡洛积分求解
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* 通过蒙特卡洛求解我们需要在不同方向上采样，考虑对应的f(x)和PDF的值
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着色点为p点时，从P点反射到摄像头的辐射为
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$$L_o(p,w_o) =\int_{\Omega+} {L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w_i)dw_i}$$
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蒙特卡洛为了算积分会在积分域上进行采样获得样本X，计算f(x)/p(x)，再求平均
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$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N \frac{f(X_k)}{p(X_k)}$$
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$$X_k \backsim p(x)$$
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* 求出f(x)
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将蒙特卡洛积分的方法迁移到解渲染方程上，则f(x)就是渲染方程中积分的所有计算式
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$$L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w_i)$$
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* PDF的值
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PDF涉及对积分域进行采样，这里为对半球进行采样
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使用最简单的均匀采样，认为半球上采样到任何一个方向上的概率密度是相同，PDF为一个常数
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$$p(\omega_i) = \frac{1}{2\pi}$$
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球面面积为$4\pi$，半球面面积为$2\pi$,半球对应立体角为$2\pi$,均匀采样使PDF的所在角度积分为1，因此PDF为$\frac{1}{2\pi}$
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* 将渲染方程改写成蒙特卡洛形式
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每次均匀地在半球上采样，取一个入射方向$\omega_i$,将上值代入可得下列式子
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$$L_o(p,w_o) =\int_{\Omega+} {L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w_i)dw_i}$$
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$$\approx \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w_i)}{p(\omega_i)}$$
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由此可写出以下着色算法
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```
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着色点p，方向为w0
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随机选择PDF采样得到的N个方向wi
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初始化结果Lo
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对于选中的wi
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从p点连出一条光线
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如果光线打到了光源
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Lo+=(1/N) * Li * fr * cosine/pdf(wi)
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返回Lo
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```
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```
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shade(p, wo)
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Randomly choose N directions wi~pdf
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Lo = 0.0
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For each wi
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Trace a ray r(p, wi)
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If ray r hit the light
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Lo += (1 / N) * L_i * f_r * cosine / pdf(wi)
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Return Lo
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```
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##### 全局光照
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全局光照下，我们需要考虑反射面反射过来的光，计算从Q反射到P点反射了多少辐射能
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只需在直接光照的算法中添加分支便可支持全局光照
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```
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着色点p，方向为w0
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随机选择PDF采样得到的N个方向wi
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初始化结果Lo
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对于选中的wi
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从p点连出一条光线
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如果光线打到了光源
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Lo+=(1/N) * Li * fr * cosine/pdf(wi)
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如果光线打到了q点的物体
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Lo +=(1/N) * shade(q,-wi) * fr * cosine/pdf(wi)
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返回Lo
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```
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```
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shade(p, wo)
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Randomly choose N directions wi~pdf
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Lo = 0.0
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For each wi
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Trace a ray r(p, wi)
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If ray r hit the light
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Lo += (1 / N) * L_i * f_r * cosine / pdf(wi)
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Else If ray r hit an object at q
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Lo += (1 / N) * shade(q, -wi) * f_r * cosine / pdf(wi)
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Return Lo
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```
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打到物体上是需要考虑q点反射过来的能量，即在q点-wi方向看过去的直接光照
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##### 上述算法存在的问题
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* 这种方式打出不同光线再以递归的方式计算，会使光线的数量呈指数爆炸增长
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如下图，打到第一个物体上后反射出N根光线，打到第二个物体后会再发出N个光线，即变成$N^2$条光线，会超出处理能力
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解决方法：
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1. 取N等于1，但是会产生较大噪声
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2. 采用N=1来做蒙特卡洛积分，即为路径追踪，(N!=1时为分布式光线追踪，会产生指数爆炸)
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3. N=1的情况下会产生噪声，但需要得到的只是一个像素的Radiance，所以只需计算穿过一个像素的多个path再求平均即可得到目标Radiance
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path:一条完整连接视点和光源的路径
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算法：
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ray_generation(camPos, pixel)
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Uniformly choose N sample positions within the pixel
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pixel_radiance = 0.0
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For each sample in the pixel
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Shoot a ray r(camPos, cam_to_sample)
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If ray r hit the scene at p
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pixel_radiance += 1 / N * shade(p, sample_to_cam)
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Return pixel_radiance
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```
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* 递归算法永远不停
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真实世界中光线本身弹射次数也是不停的，但计算机不能无限模拟，也不能提前限制弹射次数，这样会损失多次弹射的能量
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解决方案：
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用Russian Roulette(俄罗斯轮盘赌)的方法来决定以一定概率去停止光线继续弹射
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俄罗斯轮盘思想：
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1. 某一着色点出射的Radiance是$L_o$
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2. 自定一个概率p(0< p < 1)
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3. 以一定的概率p往某一方向打一条光线
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4. 得到一定结果后取$L_o/p$为返回值
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5. 在1-p的概率内就不打光线，返回值为0
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可视为取两个值的离散型随机变量，可以通过概率乘以值并加起来计算期望
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$$E = P*(L_o/p) + (1-p)*0 = L_o$$
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对应修改后的着色算法
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指定概率$P_RR$
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随意在0到1中取一个数ksi
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如果$ksi>P_RR$,意味着不该往外把一根光线
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其他情况下正常打出光线，最后结果需除以$P_RR$
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shade(p, wo)
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Manually specify a probability P_RR
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Randomly select ksi in a uniform dist. in [0, 1]
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If (ksi > P_RR) return 0.0;
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Randomly choose ONE direction wi~pdf(w)
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Trace a ray r(p, wi)
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If ray r hit the light
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Return L_i * f_r * cosine / pdf(wi) / P_RR
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Else If ray r hit an object at q
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Return shade(q, -wi) * f_r * cosine / pdf(wi) / P_RR
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```
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至此得出不太高效的正确path tracing算法
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Samples(采样率)可认为是path，SPP(samples per pixel)就是一个像素打出多少path
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low SPP下，计算速度快，图片噪声多
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High SPP下，计算速度慢，图片噪声少
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##### 算法依旧不高效的原因
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光线能否打到光源上取决于运气，当光源小时往往会浪费过多光线，需要改用更好的PDF用来采样，而非简单的均匀采样
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##### 光源上采样
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蒙特卡洛允许许多采样方法，我们可以直接在光源上采样
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n'为光源本身朝向，在与着色点连线后可得$\theta$(连线和着色点法线的夹角) $\theta$'(连线和光源法线的夹角)，此时若在视为二维平面的光源上均匀采样，则PDF为$\frac{1}{A}$
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此时得到一个定义在光源上的积分，需要将渲染方程改写
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* 将对$d\omega$的积分改为对$dA$的积分
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dA: 光源上的一个小平面
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$d\omega$：是上面小的表面投影到单位球上形成的面积(单位球半径为1，立体角为dA投影到单位球上的面积除以1的平方)
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$d\omega$和dA的关系：dA的朝向不一定朝向着色点，则需要计算$dAcos\theta'$，将光源所在平面垂直地和着色点连线，除以距离绝对值的平方，得出$d\omega$
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$$d\omega = \frac{dAcos\theta'}{||x' - x||^2}$$
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重写后的渲染方程为：
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$$L_o(x,\omega_o) = \int_{\Omega+} L_i(x,\omega_i)f_r(x,\omega_i,\omega_o)\cos \theta d\omega_i$$
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$$\int_A L_i(x,\omega_i)f_r(x,\omega_i,\omega_o)\frac{dAcos\theta'}{||x' - x||^2} dA$$
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即可使用蒙特卡洛积分进行计算,此时的PDF为1/A
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##### 改进后的算法
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着色点的着色结果来源于两个部分：
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* 光源的贡献(直接光源，无需进行俄罗斯轮盘赌剔除)
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均匀地在光源上采样后对改写后的渲染方程使用蒙特卡洛积分计算
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* 非光源贡献(间接光源，需要进行俄罗斯轮盘赌剔除)
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如果通过了俄罗斯轮盘赌测试，就发出一条射线，打到了一个非光源的点q时将其贡献加入
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算法：
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shade(p, wo)
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# Contribution from the light source.
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Uniformly sample the light at x’ (pdf_light = 1 / A)
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L_dir = L_i * f_r * cos θ * cos θ’ / |x’ - p|^2 / pdf_light
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# Contribution from other reflectors.
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L_indir = 0.0
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Test Russian Roulette with probability P_RR
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Uniformly sample the hemisphere toward wi (pdf_hemi = 1 / 2pi)
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Trace a ray r(p, wi)
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If ray r hit a non-emitting object at q
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L_indir = shade(q, -wi) * f_r * cos θ / pdf_hemi / P_RR
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Return L_dir + L_indir
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```
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##### 处理光源遮挡
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上述算法中，光源采样并未考虑光源遮挡问题
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发生下图蓝色物体遮挡在光源和着色点之间时，需要判断光源能否贡献到着色点
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判断方式：
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着色点到光源上的采样点取一根连线，从着色点往这根连线的方向打出一根光线，判断是否会打到某个物体，自然可以直接判断直接光照是否被遮挡，不被遮挡时，直接光照可直接计算，被遮挡时，自然为0
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改进后算法：
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```
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shade(p, wo)
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# Contribution from the light source.
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Uniformly sample the light at x' (pdf_light = 1 / A)
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||
Shoot a ray from p to x’
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If the ray is not blocked in the middle
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L_dir = L_i * f_r * cos θ * cos θ’ / |x' - p|^2 / pdf_light
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||
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||
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||
# Contribution from other reflectors.
|
||
L_indir = 0.0
|
||
Test Russian Roulette with probability P_RR
|
||
Uniformly sample the hemisphere toward wi (pdf_hemi = 1 / 2pi)
|
||
Trace a ray r(p, wi)
|
||
If ray r hit a non-emitting object at q
|
||
L_indir = shade(q, -wi) * f_r * cos θ / pdf_hemi / P_RR
|
||
Return L_dir + L_indir
|
||
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||
```
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||
最终path tracing的出的效果
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可见，path tracing 与照片相比能够做到几乎百分百相似
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##### 光线追踪新旧计算算法
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早期多是Whitted-style Ray Tracing
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现代：
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可理解为所有光线传播方式的集合
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* (Unidirectional & bidirectional) path tracing
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* Photon mapping
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* Metropolis light transport
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* VCM / UPBP…
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当然，现在还做不到完美的实时光线追踪，也是现在探讨前沿
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##### 补充问题
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* 蒙特卡洛积分应该选择什么样的PDF？
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重要性采样理论
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* 随机数是否有质量之分？
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存在质量之分，不同的随机数有各自特点，如low discrepancy sequences、TAA中使用的Halton sequence
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* 是否可以将采样半球和采样光源这两种采样方法结合起来，使其效果更好？
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存在，称为multiple imp Sampling,简称MIS
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* 我们算出了一个像素的Radiance，可是我们最后看到的是颜色，这个Radiance是不是颜色？
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颜色与Radiance并非一一对应关系，将Radiance换算为颜色需要经过gamma校正
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