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分治法 | 2022-05-10T09:10:25+08:00 |
基本思想
将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题相同。递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解 子问题数量不定,但最好使每个子问题的规模相等
一般算法设计模式
divide-and-conquer(p)
{
if(|p|<=n0)
adhoc(p);
divide p into smaller subinstances p1,p2,pk;
for(i=1,i<=k,k++)
yi=divide-and-conquer(pi);
return merge(y1,···,yk);
}
二分搜索技术
将n个元素分成个数大致相同的两半,取a[n/2]与x进行比较。
-
x=[n/2]
,则找到x,算法终止 -
x<a[n/2]
,在数组a的左半部继续搜索x -
x>a[n/2]
,在数组a的右半部继续搜索x具体算法
public static int binarySearch(int [] a,int x,int n){ //在a[0]<=a[1]<=···<=a[n-1]中搜索x //找到x时返回起在数组中的位置,则返回-1 int left =0;int right=n-1; while(left<=right) { int middle=(left+right)/2; if(x==a[middle]) return middle; if(x>a[middle]) left=middle+1; else right=middle-1; } return-1;//未找到x }
棋盘覆盖
在一个2^k\times2^k
个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其他方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘,在该问题中要用4中种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任意2个L型骨牌不得重叠覆盖
利用分治法得出的简洁算法
当k>0时,将2^k\times 2^k
棋盘分割为4个 2^{k-1}\times 2^{k-1}
子棋盘,特殊方格必定位于4个较小子棋盘之一,其余3个子棋盘中无特殊方格。未来将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘,可以用一个L型骨牌覆盖着3个较小棋盘的会合处,这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格,从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题,递归地使用这种分割,直至棋盘简化为1
public class Divide_and_conquer {
public void chessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size){
int tile=0;
int board[][]=new int[6][6];
if(size==1)
return;
int t=tile++,
s=size/2;
//覆盖左上角棋盘
if(dr<tr+s&&dc<tc+s)
chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
else{
//用t号L型骨牌覆盖右下角
board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
//覆盖其余方格
chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
}
//覆盖右上角子棋盘
if(dr<tr+s&&dc>=tc+s)
//特殊方格在此棋盘中
chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);
else{
//此棋盘中无特殊方格
//用t号L型骨牌覆盖左下角
board[tr+s-1][tc+s]=t;
//覆盖其他方格
chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc, s);
}
//覆盖左上角棋盘
if(dr>=tr+s&&dc<tc+s)
//特殊方格在此棋盘中
chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);
else{
//此棋盘中无特殊方格
//用t号L型骨牌覆盖右下角
board[tr+s][tc+s-1]=t;
//覆盖其他方格
chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);
}
//覆盖右下角子棋盘
if(dr>=tr+s&&dc>=tc+s)
//特殊方格在此棋盘中
chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);
else{
//此棋盘中无特殊方格
//用t号L型骨牌覆盖左下角
board[tr+s][tc+s]=t;
//覆盖其他方格
chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);
}
}
}