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递归 | 2022-05-10T09:10:48+08:00 |
- 递归技术
- 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法
- 用函数自身给出定义的函数称为递归函数
- 每个递归函数都必须有非递归定义的初始值,否则递归函数无法计算
- 阶乘函数
-
可递归地定义为
n!= \begin{cases}1,& \text{n=0} \\\\ n(n-1)!,&\text{n>0} \end{cases}
public static int Factorial(int n){ if(n==0) return 1; return n*Factorial(n-1); }
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Fibonacci数列
- 可递归地定义为
F(n)=\begin{cases}1, &\text{n=0},1 \\\\ F(n-1)+F(n-2) &\text{n>1} \end{cases}
public static int fibonacci(int n){ if(n<=1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }
- 可递归地定义为
-
排列问题
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当
n=1时,perm(R)=(r)
,其中r是集合R中唯一的元素; -
当n>1时,perm(R)=(r)
perm(R)由(r_1)perm(R_1),(r_2)perm(R_2),\cdots,(r_n)perm(R_n)构成
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算法perm(list,k,m)递归地产生所有前缀是list[0:k-1],且后缀是list[k:m]的全排列的所有排列。调用perm(list,0,n-1)即产生list[0:n-1]的全排列
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一般情况下,
k<m
public static void perm(Object[] list,int k,int m){ if(k==m){ //只剩一个元素 for(int i=0;i<=m;i++) System.out.print(list[i]); System.out.println(); } else //还有多个元素,递归产生排列 for(int i=k;i<=m;i++) { MyMath.swap(list,k,i); perm(list,k+1,m); MyMath.swap(list,k,i); } } public static class MyMath{ public static void swap(Object[] list,int k,int m){ int temp = k; k = m; m = temp; } }
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整数划分问题
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将正整数
n
表示成一系列正整数之和,n=n_1+n_2+...+n_k
,其中n_1\geq n_2\geq ...\geq n_k\geq 1,k\geq 1
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将最大加数
n_1
不大于m
的划分个数记作q(n,m)
可建立如下递归关系- 当最大加数
n_1
不大于1时,任何正整数n只有一种划分形式,即n=\begin{matrix} n \\\\ \overbrace{1+1+\cdots+1}\end{matrix}
- 最大加数
n_1
实际上不能大于n
。因此,q(1,m)=1
。 - 正整数
n
的划分由n_1=n
的划分和n_1\leq n-1
的划分组成 - 正整数
n
的最大加数n_1
不大于m
的划分由n_1=m
的划分和n_1\leq m-1
的划分组成
- 当最大加数
public static int q(int n,int m){ if((n<1)||(m<1)) return 0; if((n==1)||(m==1)) return 1; if(n<m) return q(n,n); if(n==m) return q(n,m-1)+1; return q(n,m-1)+q(n-m,m); }
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Hanoi塔问题
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设a,b,c是三个塔座。开始是在塔座a上有一叠共n个圆盘,这些圆盘自下而上,由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,···,n。现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上,并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应该遵守以下移动规则。
- 每次只移动一个圆盘
- 任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上。
- 在满足前两个规则的前提下,可将圆盘移至a,b,c任一塔座上
-
递归关系
n=1
时,将编号为一的圆盘从塔座a直接移至塔座b上即可。n>1
时,需要利用塔座c作为辅助塔座,- 将
n-1
个较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c, - 将剩下的最大圆盘从塔座a移至塔座b,
- 将
n-1
个较小的圆盘依照移动规则从塔座c移至塔座b
- 将
public static void hanoi(int n,char a,char b,char c){ if(n>0){ hanoi(n-1, a, c, b); move(n,a,b); hanoi(n-1,c,b,a); } } public static void move(int n,char a,char b){ System.out.println("第"+n+"个盘子从"+a+"--->"+b); }
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递归调用总结和系统原理
- 实现递归调用的关键:为算法建立递归调用工作栈
- 运行被调用算法前的行为
- 为所有实参指针,返回地址等信息传递给被调用算法
- 为被调用算法的局部变量分配存储区
- 将控制转移到被调用算法的入口
- 从被调用算法返回调用算法时
- 保存被调用算法的计算结果
- 释放分配给被调用算法的数据区
- 依照被调用算法保存的返回地址将控制转移到调用算法
- 嵌套调用时的系统原则:后调用先返回,即算法间的信息传递和控制转移通过栈来实现
- 递归算法的调用层次
- 调用一个递归算法的主算法为第0层算法
- 从主算法调用递归算法为进入第1层调用
- 从第i层递归调用本算法为进入第i+1层调用。
- 退出第i层递归调用,则返回至i-1层调用。
- 递归调用的栈使用情况示意
主算法栈块 |
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M |
主算法调用递归算法A的栈块 |
算法A的第一层递归调用工作记录 |
算法A的第二层递归调用工作记录 |
TOP |
M |