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|---|---|
| 《线性代数》矩阵乘法与线性变换复合 | 2023-08-06T15:02:43+08:00 |
矩阵与复合线性变换的关系
复合线性变换：完成一次变换后再次进行变换，如先旋转再剪切。与一次变换相同，也可通过追踪\hat{i}和\hat{j}来确定变换后的向量变换
新矩阵表示了一个单独的作用来完成复合线性变换
对于一个先旋转后剪切的线性变换，可以用以下方式来进行计算
选左乘旋转矩阵再左乘剪切矩阵,数值上表示对一个给定向量进行旋转然后剪切
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\\\
0 & 1
\end{bmatrix}
(\begin{bmatrix}
0 & -1 \\\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\\\
y
\end{bmatrix}) =
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\\\
y
\end{bmatrix}
由此可得，对于下列矩阵，需要从右向左读，即先应用右侧矩阵描述的变换再应用左侧矩阵描述的变换
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & -1 \\\\
1 & 0
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\\\
1 & 0
\end{bmatrix}
两个矩阵相乘有着几何意义，即两个线性变换相继作用
矩阵相乘计算流程
\begin{bmatrix}
a & b \\\\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e & f \\\\
g & h
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
? & ? \\\\
? & ?
\end{bmatrix}
首先，要得知\hat{i}的终点可由第二个矩阵的第一列得知，因此
\begin{bmatrix}
a & b \\\\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e \\\\
g
\end{bmatrix} =
e
\begin{bmatrix}
a \\\\
c
\end{bmatrix} +
g
\begin{bmatrix}
b \\\\
d
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
ae + bg \\\\
ce + dg
\end{bmatrix}
其次，\hat{j}终点在右侧矩阵第二列所表示的位置上
\begin{bmatrix}
a & b \\\\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f \\\\
h
\end{bmatrix} =
f
\begin{bmatrix}
a \\\\
c
\end{bmatrix} +
h
\begin{bmatrix}
b \\\\
d
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
af + bh \\\\
cf + dh
\end{bmatrix}
可得最终结果为
\begin{bmatrix}
a & b \\\\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e & f \\\\
g & h
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
ae + bg & af + bh \\\\
ce + dg & cd + dh
\end{bmatrix}
矩阵相乘顺序
M_1M_2 \not ={M_2M_1}
矩阵相乘结果受顺序影响
可由相乘本质是进行多次线性变换得知，改变变换的顺序会导致不同的结果
对于结合律，本质上没有改变变换的顺序，因而不会导致结果不同
A(BC) = (AB)C
三维空间下的线性变换
三维空间下的线性变换可由二维拓展，都可由基向量表示所有的向量
三维下需要引入三个基向量，X轴的\hat{i}，Y轴的\hat{j}，Z轴的\hat{k}
需要得知变换后的向量位置只需要将坐标与矩阵的对应列相乘
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \\\\
3 & 4 & 5 \\\\
6 & 7 & 8
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\\\
y \\\\
z
\end{bmatrix} =
x
\begin{bmatrix}
0 \\\\
3 \\\\
6
\end{bmatrix}+
y
\begin{bmatrix}
1 \\\\
4 \\\\
7
\end{bmatrix} +
z
\begin{bmatrix}
2 \\\\
5 \\\\
8
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0+y+2z \\\\
3x+4y+5z \\\\
6x+7y+8z
\end{bmatrix}
对于两个矩阵相乘也是类似的，第二个矩阵的三个列分别对应三个基向量的位置
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 2 \\\\
5 & 1 & 5 \\\\
1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \\\\
3 & 4 & 5 \\\\
6 & 7 & 8
\end{bmatrix}
\hat{i}的终点可由第二个矩阵的第一列得知
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 2 \\\\
5 & 1 & 5 \\\\
1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\\\
3 \\\\
6
\end{bmatrix} =
0
\begin{bmatrix}
0 \\\\
5 \\\\
1
\end{bmatrix} +
3
\begin{bmatrix}
-2 \\\\
1 \\\\
4
\end{bmatrix} +
6
\begin{bmatrix}
2 \\\\
5 \\\\
-1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0-6+12 \\\\
0+3+30 \\\\
0+12-6
\end{bmatrix}
\hat{j}的终点可由第二个矩阵的第二列得知
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 2 \\\\
5 & 1 & 5 \\\\
1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\\\
4 \\\\
7
\end{bmatrix} =
1
\begin{bmatrix}
0 \\\\
5 \\\\
1
\end{bmatrix} +
4
\begin{bmatrix}
-2 \\\\
1 \\\\
4
\end{bmatrix} +
7
\begin{bmatrix}
2 \\\\
5 \\\\
-1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0-8+14 \\\\
5+4+35 \\\\
1+16-7
\end{bmatrix}
\hat{k}的终点可由第二个矩阵的第三列得知
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 2 \\\\
5 & 1 & 5 \\\\
1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\\\
5 \\\\
8
\end{bmatrix} =
2
\begin{bmatrix}
0 \\\\
5 \\\\
1
\end{bmatrix} +
5
\begin{bmatrix}
-2 \\\\
1 \\\\
4
\end{bmatrix} +
8
\begin{bmatrix}
2 \\\\
5 \\\\
-1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0-10+16 \\\\
10+5+40 \\\\
2+20-8
\end{bmatrix}
所以最终结果为
\begin{bmatrix}
0 & -2 & 2 \\\\
5 & 1 & 5 \\\\
1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \\\\
3 & 4 & 5 \\\\
6 & 7 & 8
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0-6+12 & 0-8+14 & 0-10+16 \\\\
0+3+30 & 5+4+35 & 10+5+40 \\\\
0+12-6 & 1+16-7 & 2+20-8
\end{bmatrix}
非方阵
对于一个3$\times$2矩阵$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$同样可以用线性变换来解释，只是输入向量和输出向量在不同维度上，因而没有关联
第一列认为是变换后的\hat{i},第二列认为是变换后的\hat{j}
列空间是三维空间中一个过原点的二维平面，但由于列空间的维数与输入空间维数相等，依旧是满秩的，几何意义是将二维空间映射到三维空间上
同样地，对于一个2 \times 3矩阵
几何上表示将三维空间映射到二维空间上
二维到一维空间的转换也存在，一维空间本质就是数轴，即将两个基向量压缩到一条直线上，如果直线上有一系列等距分布的点，在映射到数轴后依旧保持等距分布此处不再过多赘述
