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title: "几何（geometry）"
date: 2022-07-15T14:40:43+08:00

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### 几何

#### 几何物体的表现形式

##### 隐式(Implicit)

1. 代数平面(algebraic surface)
2. 水平集(level sets)
3. 距离函数(distance functions)
4.  ... 


###### 优缺点

优点：
1. 描述简洁(如，一个函数)
2. 便于某些查询(判定物体内部，或内部点到表面的距离)
3. 便于计算光线到表面的交集
4. 对于简单的形状能够做到准确描述无抽样误差
5. 易于处理拓扑变化(如，流体)


缺点：
1. 难以模拟复杂的形状


###### 基于一系列满足特定关系的点


例如：

球体：所有的点在三维坐标系里满足$$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$或$$f(x,y,z) = 0 $$

###### 难以采样

例如：

在一系列符合下列条件的点中，难以采样到符合$f(x,y,z) = 0$的点

$$f(x,y,z) = (2 - \sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2 - 1$$

对应的几何形状如下图

![](../../images/eg_sample_can_be_hard.png)

###### 易于判断内外关系

例如：

在一系列符合下述条件的点中

$$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1$$

![](../../images/eg_in_outside_test_easy.png)

对于点$(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4})$ 若要判定其是否在该几何体内部则只需计算$$f(x,y,z) = - \frac{1}{8} < 0$$ 即可判定其位于几何体内部

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###### 代数平面(Algebraic Surfaces)

表面是x,y,z中多项式的零集

![](../../images/Algebraic_Surfaces.png)


###### 构造实体几何(Constructive Solid Geometry)

通过布尔计算组合构造隐式几何

![](../../images/Constructive_Solid_Geometry.png)


###### 距离函数(Distance Functions)

距离函数：从任意位置到目标物体给出最小距离（符号距离）

使用距离函数将两个曲面混合在一起

![](../../images/eg_Distance_Functions.png)


###### 水平集(Level Set Method)

封闭式的方程难以描述复杂的形状

解决方案：存储值相似的函数网格

![](../../images/Level_Set_grid.png)

插值为零的值的位置即为表面

优势：能够提供对形状更明确的控制（如纹理）

在流体仿真中也存在应用：计算到气液边界的距离


###### 分形(Factals)

该几何形状表现为所有尺度的细节都存在自相似性(一种描述自然现象的说法)，往往难以控制形状

![](../../images/eg_Factals.png)


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##### 显式(Explicit)

1. 点云(point cloud)
2. 多边形网格(polygon mesh)
3. 细分曲面和曲线(subdivision, NURBS)
4. ...


###### 点直接或参数映射给出

例如：

$$f:R^2 \rightarrow R^3;(u,v) \rightarrow (x,y,z)$$

![](../../images/eg_explict_mapping.png)


###### 易于采样

例如：

对于$$ f(u,v) = ((2 + \cos u)\cos v,(2 + \cos u)\sin v,\sin u) $$

若要判定点$f(u,v)$是否位于表面，则只需将$(u,v)$的值相加

![](../../images/eg_sample_can_be_hard.png)


###### 难以判断内外关系

例如：
对于$$f(u,v) = (\cos u \sin v ,\sin u \sin v,\cos v)$$

难以判定点$(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4})$

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###### 点云 (Point Cloud)

1. 最简单的表示：点列表(x,y,z)
2. 轻松表现任何类型的几何图形
3. 适用于大型数据集(>> 1 点/像素)
4. 通常转换为多边形网格
5. 难以用于采样不足的区域

![](../../images/eg_point_cloud.png)


###### 多边形网格(Polygon Mesh)

1. 存储顶点和多边形(通常是三角形或四边形)
2. 更易于进行处理/模拟，自适应采样
3. 更复杂的数据结构
4. 图形中最常见的表示形式


![](../../images/eg_polygon_mesh.png)



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### 表现形式应根据目标几何模型选择最合适的类型,没有最好的表现形式

![](../../images/David_Baraff.png)

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### 贝塞尔曲线(Bézier Curves)

#### 定义

贝塞尔曲线完全由其控制点决定其形状,$n$个控制点对应着$n-1$阶的贝塞尔曲线，并且可以通过递归的方式来绘制.


![](../../images/Defining_Bezier_Curve_Tangents.png)


#### de Casteljau Algorithm(图形)

假设存在三个点(quadratic Bezier)

![](../../images/de_Casteljau_Algorithm_step1.png)


通过线性插值的方式插入一个点

![](../../images/de_Casteljau_Algorithm_step2.png)


在另一边也通过同样方式插入一个点

![](../../images/de_Casteljau_Algorithm_step3.png)

递归重复

![](../../images/de_Casteljau_Algorithm_step4.png)

对于在$[0,1]$区间的每个t点都使用相同算法进行计算

![](../../images/de_Casteljau_Algorithm_step5.png)

构造一个三次方贝塞尔曲线需要总共四个输入，都递归使用线性插值

![](../../images/de_Casteljau_Algorithm_step6.png)

可视化算法流程

![](../../images/Visualizing_de_Casteljau.png)


#### de Casteljau Algorithm(数学公式)

de Casteljau 算法给出各点间金字塔型的变量关系

![](../../images/de_Casteljau_pyramid_of.png)

##### 推导流程

![](../../images/de_Casteljau_Algorithm_step5.png)

$$b_0^1(t) = (1 - t)b_0 + tb_1$$
$$b_1^1(t) = (1 - t)b_1 + tb_2$$
$$b_0^2(t) = (1 - t)b_0^1 + tb_1^1$$
$$b_0^2(t) = (1 - t)^2b_0 + 2t(1 - t)b_1 + t^2b_2$$

进而推得$n$阶贝塞尔曲线的公式为：

$$b^n(t) = b_0^n(t) = \sum_{j=0}^{n} {b_j B_j^n(t)}$$

$b^n(t)$:贝塞尔曲线阶级数n(n次向量多项式)

$b_j$:控制点($R^N$的向量)

$B_j^n$:伯恩斯坦多项式

伯恩斯坦多项式(Bernstein polynomial):

$$B_i^n(t) = \begin{pmatrix} n \\\\ t \end{pmatrix} t^i(1 - t)^{n - i}$$

例如$n = 3$时

我们在三维空间里有下列控制点

$b_0 = (0,2,3),b_1 = (2,3,5),b_2 = (6,7,9),b_3 = (3,4,5)$

这些点定义了以下列公式形式的贝塞尔曲线

$$b^n(t) = b_0(1 - t)^3 + b_1 3t(1 - t)^2 + b_2 3t^2(1 - t) + b_3 t^3$$

贝塞尔基本函数

![](../../images/Cubic_Bezier_Basis_Functions.png)

插值端点：$b(0) = b_0;b(1) = b_3$

与末端线段相切：$b'(0) = 3(b_1 - b_0); b'(1) = 3(b_3 - b_2)$

能够通过控制点的位置来改变曲线


### 分段贝塞尔曲线

出现原因：高阶贝塞尔曲线有多个控制点，难以控制曲线形状

对策: 将多个低阶的贝塞尔曲线相连，构造为分段贝塞尔曲线

常用于：字体，路径，插画，主题演讲

样例：

![](../../images/Demon_Piecewise_Cubic_Bezier_Curve.png)

#### 组合计算

要将一下两条贝塞尔曲线组合在一起则

$$a:[k,k+1] \rightarrow IR^N$$
$$b:[k+1,k+2] \rightarrow IR^N$$

![](../../images/Continuity_Piecewise_Bezier_step1.png)

$c^0$处的连续性：$a_n = b_0$

![](../../images/Continuity_Piecewise_Bezier_step2.png)

$c^1$处的连续性：$a_n = b_0 = \frac{1}{2}(a_{n-1} + b_1)$

![](../../images/Continuity_Piecewise_Bezier_step3.png)

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### 贝塞尔表面(Bézier Surfaces)

对于一个双立方贝塞尔表面贴片

输入：$4 \times 4 $ 控制点

输出：由$[0,1]^2$ 参数化的2D平面

![](../../images/bezier_surface_eg.png)

#### 计算方法 

目标：计算相对于(u,v)的平面位置

1.  使用 de Casteljau 算法来计算四条贝塞尔曲线上各自的U,这将会为"移动"贝塞尔曲线提供4个有效的控制点
2.  使用一阶 de Casteljau 算法来计算"移动"曲线上的点V

![](../../images/evaluation_of_bezier_surface.png)

可视化计算流程：

![](../../images/visual_evaluation_of_bezier_surface.png)



### 曲面处理(Mesh Operations)

#### 曲面细分(Mesh Subdivision)

目的：提高分辨率

![](../../images/eg_mesh_subdivision.png)

通常做法：

1. 创建更多三角形(顶点)
2. 更新它们的位置


##### Loop Subdivision

1. 将每个三角形划分为4个三角形
2. 根据权重更新顶点的位置(新旧顶点各自以不同方式进行更新)

新顶点：

![](../../images/loop_subdivision_new.png)

白点即为新顶点，其位置为周围四个顶点的权重之和

旧顶点：

![](../../images/loop_subdivision_old.png)

白色旧顶点也是自身及邻接顶点的权重之和，权重的设置与旧顶点度数关联


##### Catmull-Clark Subdivision

![](../../images/catmull-clark_subdivision1.png)

定义：

1. 所有非四边形的面都称为Non-quad face
2. 所有度不为4的点称为奇异点
3. 每次细分时在每个面中添加一个点，每条边的中点也都添加一个点，面上的新顶点连接所有边上的新顶点

第一次细分后结果：

![](../../images/catmull-clark_subdivision2.png)


特点：

1. 非四边形面的数量与奇异点相同，即现在共有$2+2=4$个
2. 奇异点的度数与原来所在面的边数相等，即这里为3度
3. 第一次细分后所有的面都会变成四边形，且后续奇异点数目不再增加

Catmull-Clark 顶点更新规则

![](../../images/Catmull-Clark_Vertex_Update_Rules.png)

##### 收敛性：整体形状和折痕

![](../../images/convergence_of_loop_and_catmull.png)

#### 曲面简化(Mesh Simplification)

目的：降低分辨率的同时尽量保持形状/外观

![](../../images/eg_mesh_simplification.png)

##### 边坍缩

边坍缩是曲面简化的常用方法，如上图所示将一条边的两个顶点合成为一个顶点，出于尽量保持形状的目的，需要正确选择不影响或影响最小的边进行坍缩，由此引入二次误差度量(Quadric Error Metrics)

![](../../images/Collapsing_An_Edge.png)


###### 二次误差度量(Quadric Error Metrics)

![](../../images/Quadric_Error_Metrics.png)

坍缩之后蓝色新顶点所在位置与原来各个平面的垂直距离之和，如此误差最小则整个模型样貌修改一定程度也会较小

##### 曲面简化算法流程

1. 为模型每条边赋值，其值为坍缩后代替老顶点产生的新顶点所得到的最小二次误差
2. 选取权重最小的边做坍缩，新顶点的位置为原计算得出使二次误差值最小的位置
3. 坍缩之后，会改动与之相连的其他边，更新这些边的权值
4. 重复步骤，直到符合终止条件

符合贪心算法标准，无法获得最优解，但效果依旧合适

![](../../images/eg_Quadric_Error_Mesh_Simplification.png)

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#### 纹理映射(Shadow Mapping)

Shadow Mapping是一种基于图像的算法
1. 阴影计算期间无需进行几何体计算
2. 必须进行反走样处理
3. 不在阴影中的点必须同时在灯光和相机范围内

##### 计算流程

阴影映射总体需要两个pass

Pass1:render from light
1. 获得从光源视角得到的深度图像

![](../../images/render_from_light.png)

Pass2:render from eye
1. 从观看视角(相机视角)获得带有深度的标准图像
2. 将观看视角中的可见点投影回光源
   1. 光源和观看视角的下的深度相同时为可见
   2. 光源和观看视角下的深度不相同则为被阻挡

![](../../images/project_to_light.png)


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