InkSoul/content/mathematics/《线性代数》矩阵乘法与线性变换复合.md

title	date
《线性代数》矩阵乘法与线性变换复合	2023-08-06T15:02:43+08:00

矩阵与复合线性变换的关系

复合线性变换：完成一次变换后再次进行变换，如先旋转再剪切。与一次变换相同，也可通过追踪\hat{i}和\hat{j}来确定变换后的向量变换

新矩阵表示了一个单独的作用来完成复合线性变换

对于一个先旋转后剪切的线性变换，可以用以下方式来进行计算

选左乘旋转矩阵再左乘剪切矩阵,数值上表示对一个给定向量进行旋转然后剪切

\begin{bmatrix}
    1 & 1 \\\\
    0 & 1
\end{bmatrix}
(\begin{bmatrix}
    0 & -1 \\\\
    1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\\\
    y
\end{bmatrix}) = 
\begin{bmatrix}
    1 & -1 \\\\
    1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\\\
    y
\end{bmatrix}

由此可得，对于下列矩阵，需要从右向左读，即先应用右侧矩阵描述的变换再应用左侧矩阵描述的变换

\begin{bmatrix}
    1 & 1 \\\\
    0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    0 & -1 \\\\
    1 & 0
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    1 & -1 \\\\
    1 & 0
\end{bmatrix}

两个矩阵相乘有着几何意义，即两个线性变换相继作用

矩阵相乘计算流程

\begin{bmatrix}
    a & b \\\\
    c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    e & f \\\\
    g & h
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    ? & ? \\\\
    ? & ?
\end{bmatrix}

首先，要得知\hat{i}的终点可由第二个矩阵的第一列得知，因此

\begin{bmatrix}
    a & b \\\\
    c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    e  \\\\
    g 
\end{bmatrix} = 
e
\begin{bmatrix}
    a \\\\
    c
\end{bmatrix} +
g
\begin{bmatrix}
    b \\\\
    d
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    ae + bg  \\\\
    ce + dg 
\end{bmatrix}

其次，\hat{j}终点在右侧矩阵第二列所表示的位置上

\begin{bmatrix}
    a & b \\\\
    c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    f  \\\\
    h 
\end{bmatrix} = 
f
\begin{bmatrix}
    a \\\\
    c
\end{bmatrix} +
h
\begin{bmatrix}
    b \\\\
    d
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    af + bh  \\\\
    cf + dh 
\end{bmatrix}

可得最终结果为

\begin{bmatrix}
    a & b \\\\
    c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    e & f \\\\
    g & h
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    ae + bg & af + bh \\\\
    ce + dg & cd + dh
\end{bmatrix}

矩阵相乘顺序

M_1M_2 \not ={M_2M_1}

矩阵相乘结果受顺序影响

可由相乘本质是进行多次线性变换得知，改变变换的顺序会导致不同的结果

对于结合律，本质上没有改变变换的顺序，因而不会导致结果不同

A(BC) = (AB)C

三维空间下的线性变换

三维空间下的线性变换可由二维拓展，都可由基向量表示所有的向量

三维下需要引入三个基向量，X轴的\hat{i}，Y轴的\hat{j}，Z轴的\hat{k}

需要得知变换后的向量位置只需要将坐标与矩阵的对应列相乘

\begin{bmatrix}
    0 & 1 & 2 \\\\
    3 & 4 & 5 \\\\
    6 & 7 & 8
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\\\
    y \\\\
    z
\end{bmatrix} = 
x
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    3 \\\\
    6 
\end{bmatrix}+
y
\begin{bmatrix}
    1 \\\\
    4 \\\\
    7
\end{bmatrix} + 
z
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    8
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
    0+y+2z \\\\
    3x+4y+5z \\\\
    6x+7y+8z
\end{bmatrix}

对于两个矩阵相乘也是类似的，第二个矩阵的三个列分别对应三个基向量的位置

\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    0 & 1 & 2 \\\\
    3 & 4 & 5 \\\\
    6 & 7 & 8
\end{bmatrix}

\hat{i}的终点可由第二个矩阵的第一列得知

\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    3 \\\\
    6
\end{bmatrix} = 
0
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    5 \\\\
    1
\end{bmatrix} + 
3
\begin{bmatrix}
    -2 \\\\
    1 \\\\
    4
\end{bmatrix} +
6
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    -1
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    0-6+12  \\\\
    0+3+30 \\\\
    0+12-6
\end{bmatrix}

\hat{j}的终点可由第二个矩阵的第二列得知

\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    1 \\\\
    4 \\\\
    7
\end{bmatrix} = 
1
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    5 \\\\
    1
\end{bmatrix} + 
4
\begin{bmatrix}
    -2 \\\\
    1 \\\\
    4
\end{bmatrix} +
7
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    -1
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    0-8+14  \\\\
    5+4+35 \\\\
    1+16-7
\end{bmatrix}

\hat{k}的终点可由第二个矩阵的第三列得知

\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    8
\end{bmatrix} = 
2
\begin{bmatrix}
    0 \\\\
    5 \\\\
    1
\end{bmatrix} + 
5
\begin{bmatrix}
    -2 \\\\
    1 \\\\
    4
\end{bmatrix} +
8
\begin{bmatrix}
    2 \\\\
    5 \\\\
    -1
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    0-10+16  \\\\
    10+5+40 \\\\
    2+20-8
\end{bmatrix}

所以最终结果为

\begin{bmatrix}
    0 & -2 & 2 \\\\
    5 & 1 & 5 \\\\
    1 & 4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    0 & 1 & 2 \\\\
    3 & 4 & 5 \\\\
    6 & 7 & 8
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
    0-6+12 & 0-8+14 & 0-10+16  \\\\
    0+3+30 & 5+4+35 & 10+5+40 \\\\
    0+12-6 & 1+16-7 & 2+20-8
\end{bmatrix}