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《考研数学二》公式大全 2022-12-24T13:05:40+08:00
目录

高等数学

函数，极限，连续

函数

函数的定义

设在某个过程中有两个变量x和y，对变量x在允许的范围内的每一个确定的值，变量y按照某一确定的法则总有相应的值与之对应，则称y为x的函数，记为y=f(x)

线性代数

行列式

行列式定义和性质

行列式定义

n阶行列式


\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix}
= \sum_{(j_1,j_2,\cdots j_n)}(-1)^{(j_1,j_2,\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj}

\sum_{(j_1,j_2,\cdots j_n)}表示对所有n级排列求和

行列式性质

  • 行列互换，行列式的值不变，也即D=D^T
  • 任意两行（列）互换位置后，行列式改变符号
    • 如果行列式中有两行（列）对应元素相同，则行列式的值为0
  • 将行列式的某一行（列）乘以一个常数k后，行列式的值变为原来的k倍
    • 如果行列式的某一行（列）全为0，则行列式的值等于0
    • 行列式的某两行（列）元素对应成比例，则行列式的值等于0
  • 如果行列式某一行（列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）分别对应两个加数，其余行（列）与原行列式相等

\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \ddots & a_{in}+b_{in} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
    b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\\\
    \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix}
  • 将行列式的某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变

行列式展开定理

余子式及代数余子式

在n阶行列式D=|a_{ij}|中，划掉a_{ij}所在第i行和第j列的所有元素后，余下(n-1)^2个元素按照原有次序构成一个(n-1)阶行列式，称为元素a_{ij}在D中的余子式，记作M_{ij}


M_{ij} = 
\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \cdots & a_{1n} \\\\
    a_{21} & a_{22} &  \cdots & a_{2(j-1)} & a_{2(j+1)} & \cdots & a_{2n} \\\\
    \vdots & \vdots & \vdots& \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\\\
    a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2} & \cdots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \cdots & a_{(i-1)n} \\\\
    a_{(i+1)1} & a_{(i+1)2} & \cdots & a_{(i+1)(j+1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \cdots & a_{(i+1)n} \\\\
     \vdots & \vdots & \vdots& \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\\\
    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \cdots & a_{nn} \\\\
\end{vmatrix}

记作A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}，称作元素a_{ij}的代数余子式

行列式按一行（列）展开

n阶行列式D等于其任一行（列）各元素与其代数余子式乘积之和

D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots +a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}(i=1,2,\cdots,n)=a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots +a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}(j = 1,2,\cdots,n)

推论：

行列式D的某一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零


\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}= a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} + \cdots +a_{in}A_{kn} = 0 (i\not ={k})


\sum_{j=1}^na_{ji}A_{jk}= a_{1i}A_{1k} + a_{2i}A_{2k} + \cdots +a_{ni}A_{nk} = 0 (i\not ={k})

特殊行列式

上三角、下三角、对角形行列式

$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $

次对角线行列式

$ \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & 2_{2(n-1)} & 0\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{nn} & \cdots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} & 0\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2(n-1)} & a_{2n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n(n-1)} & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}\cdots a_{n1} $

范德蒙德行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\leq i < j \leq n}(a_j-a_i) $

拉普拉斯展开式

$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} & & O_{k\times l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\ c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k} & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ c_{l1} & c_{l2} & \cdots & c_{lk} & b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \\ \end{vmatrix} $

$ \begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k} & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ c_{l1} & c_{l2} & \cdots & c_{lk} & b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} & & O_{k\times l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix} = (-1)^{kd} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ b_{l1} & b_{l2} &\cdots & b_{ll} \\ \end{vmatrix} $

行列式有关的重要公式

设A，B均为n阶方阵，k为常数，E为n阶单位矩阵,A*为A的伴随矩阵

  • |kA| = k^n \cdot {|A|}
  • 若A是可逆矩阵，则有|A^{-1} = \frac{1}{|A|}
  • |A \cdot B| = |A| \cdot |B|
  • |A*| = |A|^{n-1}
  • A \cdot A* = A* \cdot A = |A| \cdot E
  • |A| = \prod_{i=1}^n\lambda_i(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是A的全部特征值)
  • |A|\not ={0}\iff A为可逆矩阵\iff$A为满秩矩阵，即$r(A) = n
  • 二维矩阵的伴随矩阵为：主对角线互换，副对角线变号

矩阵

矩阵定义与运算

矩阵定义

由m$\times$n个数a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)排列成的m行n列的数表


\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\\\
    \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}  \\\\
\end{vmatrix}

称为m$\times$n矩阵，记为A=(A_{ij})_{m\times n},其中a_{ij}称为矩阵A的第i行第j列的元素

  1. 当n=m时，A也称为n阶方阵，|A|称为A的行列式
  2. 两个矩阵A=(a_{ij}),B=(b_{ij})_{s\times k},如果m=s，n=k，则称它们为同型矩阵
  3. 如果两个同型矩阵A=a_{ij},B=(b_{ij}){ m \times n}对应的元素相等，也即a_{ij} = b_{ij}(i=1,\cdots,mj=1,\cdots,n),则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B

常见的特殊矩阵：

  • 零矩阵，所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O
  • 对角矩阵：主对角线以外的元素均为0的矩阵，称之为对角矩阵，即$$diag(a_1,a_2,\cdots,a_n) = \begin{pmatrix} a_1 \\ & a_2 \\ & & \vdots \\ & & & a_n \end{pmatrix}两个对角矩阵的乘积仍是对角矩阵
  • 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称之为单位矩阵，记作E。单位矩阵与任何矩阵相乘都可以交换，即$EA=AE=A$
  • 上（下）三角矩阵，主对角线以下的元素全为0的矩阵称之为上三角矩阵，主对角线以上的元素全为0的矩阵称为下三角矩阵
  • 对称矩阵：满足条件A^T = A的n阶矩阵A称为对称矩阵，即A为对称矩阵\iff a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n)
  • 反对称矩阵：满足条件A^T=-A的n阶矩阵A称为反对称矩阵，即A=(a_{ij})_{ n\times n }(i,j=1,2,\cdots,n)
  • 正交矩阵：设A是n阶矩阵，如果AA^T = A^TA=E，则称A是正交矩阵

矩阵运算

矩阵加法(两个相加的矩阵必须同型)

设A=(a_{ij}),B=(b_{ij})是两个m\times n矩阵，定义矩阵C=(c_{ij}) = (a_{ij}+b_{ij})为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B

  • 运算性质
    • A+B=B+A（交换律）
    • (A+B)+C = A+(B+C)（结合律）
    • A + O = A（其中O=(0)_{m\times n}
    • A + (-A) = O（其中-A = (-a_{ij})_{m\times n}
矩阵的数乘

设A=(a_{ij})是一个m\times n矩阵，k为任意实数，则定义kA = (ka_{ij})(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)为矩阵的数乘

  • 运算性质
    • k(lA) = (kl)A = l(kA)(k,l为数)
    • (A+B)+C=A+(B+C)
    • k(A+B) = KA+KB
    • (k+l)A = KA+A
矩阵的乘法

设

A=(a_{ij})_{m \times n}

B=(b_{ij})_{n \times k}

定义矩阵C=(c_{ij})_{m\times k},其中

c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}+b_{nj}=\sum^n_{k=1}a_{ik}b_{kj}

称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB

  • 数乘的运算性质
    • (AB)C = A(BC)
    • A(B+C) = AB+AC
    • (B+C)A = BA+CA
    • (KA)B = A(KB) = K(AB)

注：

  1. 两个相乘的矩阵AB必须保证A的列数和B的行数相等
  2. 矩阵乘法一般不满足交换律，AB$\not ={BA}$
  3. 矩阵的运算不满足消去律，即由AB=AC且A$\not ={O}$得不出B=C
  4. 零因子定律不成立，即由AB=O不能得到A=O或B=O
方阵的乘幂运算

如果矩阵A为方阵，则定义A^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n个A}为矩阵A的n次幂，规定A^0 = E

  • 运算性质
    • A^K \cdot A^l = A^{k+l}
    • (A^k)^l = A^{kl}
    • 一般情况下，(A \cdot B)^k \not ={A^k \cdot B^k}
矩阵的转置

设$A_{m \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}_{m \times n}$

定义A的转置矩阵为

$A^T=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}_{m \times n}$

即转置矩阵A^T的第i行第j行元素等于原矩阵A的第j行第i列元素

  • 运算规则
    • (A^T)^T = A
    • (A+B)^T = A^T+B^T
    • (AB)^T = B^TA^T
    • (kA)^T = k \cdot A^T
方阵的行列式

若

A=(a_{ij})_{m \times n}

B=(b_{ij})_{n \times k}

则

$|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}$

且|kA|=k^n|A|,|AB|=|A||B|

矩阵的求逆运算
逆矩阵定义定理

若AB均为n阶方阵，且满足AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，又称B是A的逆矩阵，记作B=A^{-1}

  1. 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A^{-1}是唯一的
  2. 矩阵A可逆的充分必要条件是|A|\not ={0}
  3. 若|A|\not ={0},则A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* ,其中$$A^*=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{bmatrix}称为A的伴随矩阵（其中A_{ij}是元素a_{ij}的代数余子式）
  4. 由 A^* 构造可得公式 AA^ * = A^*A=|A|E
运算规则

若AB均为n阶可逆矩阵

  1. (A^{-1})^{-1}=A
  2. 若k\not ={0}为常数，则 (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}
  3. (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  4. A^T也可逆，且 (A^T)^{-1} = (A^{-1})^{T}
  5. |A^{-1}|=|A|^{-1}

矩阵的秩

k阶子式的定义

在A_{m\times n }中，任取k行、k列，在这k行k列的交错处有k^2个元素，这k^2个元素按原有的次序构成一个k阶行列式，称为A的一个k阶子式

矩阵的秩的定义

在A_{m\times n }中，至少有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，则称A的秩的位r，记作rank(A) = r，简记为r(A) = r或R(A)=r

矩阵在运算后秩的变化规律

  1. r(A^T)=r(A)
  2. r(A_{m \times n}) \leq \min{(m,n)}
  3. r(A)=0\iff A=O
  4. $r(kA) = \begin{cases} r(A),k\not = 0 \\ 0,k=0 \end{cases}$
  5. r(A+B)\leq r(A) + r(B)
  6. R(A+B) \leq \min{(r(A),r(B))}
  7. 若有矩阵A_{m\times n},B_{n \times s}且AB=O,则r(A)+r(B) \leq n
  8. 若PQ为满秩方阵，则r(PA) = r(A) = r(AQ)=r(PAQ)
  9. 初等变换不改变矩阵的秩，若B式阶梯型矩阵，则r(B)等于B中非零行的个数
  10. 伴随矩阵A^* 的秩 $r(A^*) = \begin{cases} n,r(A) = 0 \\ 1,r(A) = n-1 \\ 0,r(A) \leq n-2 \end{cases}$

分块矩阵

分块矩阵定义

用贯穿矩阵的横线和纵线把一个矩阵分为若干小块，每个小块称为原矩阵的子块，一般记作A_{ij},分成字块的矩阵叫做分块矩阵，


A=
\left[
\begin{array}{cc:cc}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\
  \hdashline a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\
  a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} 
\end{array}
\right] =
\begin{bmatrix}
  A_{11} & A_{12} \\\\
  A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}_{2\times 2} = 
(A\_{ij})\_{2 \times 2}


A=
\left[
\begin{array}{c:c:c:c}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\
  a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} 
\end{array}
\right] =(p_1,p_2,p_3,p_4)\_{1 \times 4}

分块矩阵的运算

加法

A,B$\in M_{m,n}且有相同的分块划分方法$A=(A\_{ij})\_{s\times t},B=(B\_{ij})\_{s\times t}则A+B=(A_{ij}+B_{ij})\_{s \times t}(每个对应字块可以相加)

数乘

设A=(A\_{ij})\_{s\times t}则kA=(kA\_{ij})\_{s \times t}

转置

若


A=
\begin{bmatrix}
  A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\\\
  A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{st}
\end{bmatrix}

则


A^T=
\begin{bmatrix}
  A^T_{11} & A^T_{21} & \cdots & A^T_{s1} \\\\
  A^T_{12} & A^T_{22} & \cdots & A^T_{s2} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  A^T_{1s} & A^T_{2s} & \cdots & A^T_{st}
\end{bmatrix}

即分块矩阵先转置后，再将每个子矩阵分别单独转置

乘法

A=
\begin{bmatrix}
  A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\\\
  A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{st}
\end{bmatrix} =
(A\_{ij})\_{s\times t} \in M\_{m \times n}


B=
\begin{bmatrix}
  B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r} \\\\
  B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr}
\end{bmatrix} =
(B\_{jK})\_{t\times r} \in M\_{m \times n}


C=AB =
\begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1r} \\\\
  C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2r} \\\\
  \vdots & \vdots & &\vdots \\\\
  C_{s1} & C_{s2} & \cdots & C_{sr}
\end{bmatrix}

其中C_{ik} = A_{i1}B{1k} + A_{i2}B_{2k}+\cdots + A_{it}B_{tk} = \sum^t_{j=1}A_{ij}B_{jk}(i=1,\cdots,s;k=1,\cdots,r)

分块对角形（对角块）矩阵

一般地，分块矩阵$A=\begin{bmatrix} A_{11} & O & \cdots & O \\ O & A_{22} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ O & O & \cdots & A_{ss} \end{bmatrix}$

简记为$A=\begin{bmatrix} A_{11} & & & \\ & A_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{ss} \end{bmatrix}其中$A_{ij}均为小方阵，则称A为对角块矩阵或分块对角形矩阵，若AB均为对角块矩阵，则A+B，AB也为对角块矩阵

$A+B = \begin{bmatrix} A_{1} & & & \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{s} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_{1} & & & \\ & B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_{s} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1}+B_{1} & & & \\ & A_{2}+B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{s}+B_{s} \end{bmatrix} $

A_i,B_i为同阶子矩阵

$AB = \begin{bmatrix} A_{1} & & & \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{s} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{1} & & & \\ & B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_{s} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1}B_{1} & & & \\ & A_{2}B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_{s}B_{s} \end{bmatrix}$

对角块矩阵的逆矩阵公式（设A_1,A_2,A_3均可逆）

\begin{bmatrix}
  A_{1} &  &  &  \\\\
   & A_{2} &  &  \\\\
   &  &  & A_{3}
\end{bmatrix}^{-1} =
\begin{bmatrix}
  A_{1}^{-1} &  &  &  \\\\
   & A_{2}^{-1} &  &  \\\\
   &  &  & A_{3}^{-1}
\end{bmatrix} 


\begin{bmatrix}
   &  &  & A_{1}  \\\\
   & A_{2} &  &  \\\\
   A_{3} &  &  & 
\end{bmatrix}^{-1} =
\begin{bmatrix}
   &  &  & A_{1}^{-1}  \\\\
   & A_{2}^{-1} &  &  \\\\
   A_{3}^{-1} &  &  & 
\end{bmatrix}

矩阵初等变换与初等矩阵

初等行（列）变换

对矩阵施加三种行（列）变换

  1. 交换变换：互换矩阵中的某两行（列）
  2. 倍乘变换：用一个非零常数k乘矩阵的某行（列）
  3. 倍加变换：将矩阵的某行（列）的k倍加到另一行（列）上

阶梯形矩阵

形如


\begin{bmatrix}
  0 & 1 & 3 \\\\
  0 & 0 & 2 \\\\
  0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
  1 & 2 & -1 & 2 & 5 \\\\
  0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\
  0 & 0 & 0 & 4 & 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & -1 \\\\
  0 & 2 & 3 \\\\
  0 & 0 & 3
\end{bmatrix}

的矩阵称为阶梯形矩阵

特征：

  1. 全零行位于矩阵的最下方
  2. 每个非零行的第一个非零元素c_{ij}（主元）的列标j随着行标i的递增而严格增大
  3. 任一个矩阵经过若干次初等行（列）变换都可以化成阶梯形矩阵

初等矩阵

单位矩阵做了一次初等行（列）变换的矩阵

初等行交换矩阵

将单位矩阵的第i行，第j行交换后得到的矩阵，记作


p((i)\leftrightarrow(j)) = \begin{bmatrix}
  1 & & & \\\\
    & \ddots & & \\\\
    & & 0 &\cdots & 1 & &\\\\
    & &\vdots & &\vdots & & \\\\
    & & 1 & \cdots & 0 & & \\\\
    & & & & & \ddots \\\\
    & & & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：将初等行变换矩阵左乘A，即p((i)\leftrightarrow(j))A=A_1,A_1就是将A的第i行、第j行交换后的结果

初等行倍乘矩阵

将单位矩阵的第i行乘以不为零的常数k后所得到的矩阵，记


P((k(i))) = \begin{bmatrix}
  1 & \\\\
    & \ddots \\\\
    & & k \\\\
    & & & \ddots \\\\
    & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：若P(k(i))A = A_2，则A_2就是将A的第i行乘上k倍后的结果

初等行倍加矩阵

将单位矩阵第i行的k倍加到第j行后所得到的矩阵，记作


P(k(i)+(j)) = \begin{bmatrix}
  1 \\\\
  & \ddots \\\\
  & & 1 \\\\
  & & \vdots & \ddots \\\\
  & & k & \cdots & 1 \\\\
  & & & & & \ddots \\\\
  & & & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：若P(k(i)+(j))A = A_3,则A_3就是将A的第i行的k倍加到第j行上的结果

初等列交换矩阵

将单位矩阵第i行与第j列交换后所得到的矩阵，记作


Q((i)\leftrightarrow(j)) = \begin{bmatrix}
  1 & & & \\\\
    & \ddots & & \\\\
    & & 0 &\cdots & 1 & &\\\\
    & &\vdots & &\vdots & & \\\\
    & & 1 & \cdots & 0 & & \\\\
    & & & & & \ddots \\\\
    & & & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：将初等列交换矩阵右乘A，即若AQ((i)\leftrightarrow(j))=A_4则A_4就是将A的第i列与第j列交换后的结果

初等列倍乘矩阵

将单位矩阵的第i列乘以一个不等于零的常数k后得到的矩阵，记作


Q((k(i))) = \begin{bmatrix}
  1 & \\\\
    & \ddots \\\\
    & & k \\\\
    & & & \ddots \\\\
    & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：若AQ(k(i)) = A_5，则A_5就是将A的第i列乘上k倍后的结果

初等列倍加矩阵

将单位矩阵的第i列的k倍加到第j列后得到的矩阵，记作


Q((i)+(j)) = \begin{bmatrix}
  1 & & & \\\\
    & \ddots & & \\\\
    & & 1 &\cdots & k & &\\\\
    & & & \ddots &\vdots & & \\\\
    & &  &  & 1 & & \\\\
    & & & & & \ddots \\\\
    & & & & & & 1
\end{bmatrix}

作用：若AQ(k(i)+(j)) = A_6则A_6就是将A的第i列的k倍加到第j列上的结果

初等行变换与初等列变换矩阵的关系

  1. P((i)\leftrightarrow(j))=Q((i)\leftrightarrow(j))=Q^T((i)\leftrightarrow(j))
  2. P(k(i))=Q(k(i))=Q^T(k(i))
  3. P(k(i)+(j))=Q^T(k(i)+(j))

即：初等行变换矩阵与同类型的初等列变换矩阵之间为转置关系

定理

  1. 初等矩阵都是可逆矩阵
  2. 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵
  3. 任一个可逆矩阵经过有限次的初等行变换都可以化成单位矩阵
  4. 一个可逆矩阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积

初等行（列）变换法求矩阵的秩

初等行（列）变换不改变矩阵的秩

矩阵的初等行（列）变换前后，矩阵的秩是相等的，而阶梯形矩阵的秩等于阶梯形矩阵中非零行的个数，有任一个矩阵都可经过若干次初等行（列）变换成阶梯型矩阵，因此任一个矩阵的值都可以通过初等行（列）变换成阶梯形矩阵后方便地取得

矩阵关系

等价
  • 定义
    • 若矩阵A可以经过一系列初等行（列）变换后化成矩阵B，则称矩阵AB是等价的，记作A\cong B
  • 性质
    • A \cong A
    • A\cong B则B \cong A
    • A\cong B,B \cong C 则 A\cong C
    • 同型矩阵A与B等价\iff r(A)=R(B)
    • 矩阵等价问题通常考虑化为阶梯型矩阵后r(A)=R(B)
相似
  • 定义
    • 对于同阶方阵A,B，若存在|P|\not ={0}，使P^{-1}AP=B,则称A与B相似，记作A\backsim B
  • 性质
    • A\backsim B
    • A\backsim B,则B \backsim A
    • A\backsim B,B \backsim C则A \backsim C
    • 若A\backsim B则A^T\backsim B^T
    • 若AB可逆且A\backsim B，则A^{-1}\backsim B^{-1}
    • A\backsim B \Rightarrow A^n \backsim B^n，n为正整数
    • 相似矩阵右相同的特征值
    • 相似矩阵的行列式、秩相等
    • 同阶实对称矩阵相似的充要条件是它们有相同的特征值
合同
  • 定义
    • 对于同阶方阵AB，若存在|P|\not ={0},使P^TAP=B则称A与B合同，记为A\cong B
  • 性质
    • A \cong A
    • A\cong B则B \cong A
    • A\cong B,B \cong C 则 A\cong C
    • 同阶实对称矩阵合同的充要条件是秩相等且正惯性指数相等

矩阵等价、相似、合同的关系

  • 相似\iff等价
  • 合同\iff等价
  • 若A与B都是实对称矩阵，则A与B相似$\iff$A与B合同

矩阵特征值与特征向量

  • 定义
    • 若存在非零向量\alpha，使A \alpha = \lambda \alpha,则称\lambda为方阵A的特征值，\alpha是A的属于特征值\lambda的特征向量
  • 性质
    • 若\lambda是A的特征值，则\lambda^k是A^k的特征值
    • 若\lambda \not ={0}是A的特征值，则\lambda^{-1}是A^{-1}的特征值
    • 若\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是A的特征值，则\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}(A的迹)\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|
    • A与A^T有相同的特征值
    • 矩阵A属于不同特征值的特征向量必线性无关
    • 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交

矩阵可逆的充要条件

A可逆\iff|A|\not ={0} \iff A=P_1P_2\cdots P_l，其中P_i(i=1,2,\cdots,l)为初等矩阵\iff A \backsim E(E为n阶单位矩阵)

矩阵等价的充要条件

A\cong B \iff存在可逆矩阵P,Q使PAQ=B$\iff$r(A) = r(B)

向量

n维向量定义及其运算

向量定义及其线性运算

  1. 向量定义

$ n个数a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n组成一个有次序的数组，称为一个n维向量，用\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)(称为行向量)或\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)^T(称为列向量)来表示。称a_i为第i个分量，若干个同维列向量(或同维行向量)组成的集合称为向量组 $

  1. 向量加法

$ \alpha + \beta = (a_1,a_2,\cdots,a_n)+(b_1,b_2,\cdots,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n) $

  1. 数乘向量

j\alpha = k(a_1,a_2,\cdots,a_n) = (ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)

线性组合与线性表出

向量组的线性组合

有一组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s及一组数k_1,k_2,\cdots,k_s称k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s为向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s的一个线性组合

线性表出（线性表示）

若向量\beta可表示为向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s的一个线性组合，即有k_1,k_2,\cdots,k_s存在，使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s成立，则称向量\beta$可由向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性表出（线性表示）

  1. 一个向量\beta能否由一个向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性表示，等价于以k_1,k_2,\cdots,k_s为未知量的的线性方程组k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s是有解还是无解
  2. 若\beta可由\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性表示，其表现形式是唯一且是无穷多种形式，等价于线性方程组k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s在有解时值有唯一解且是无穷多组解
向量组的等价

若向量组（I）\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s中每一个向量\alpha_j(j = 1,2,\cdots,s)均可由向量组(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t线性表示，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示

若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，向量组(II)也由向量组(I)线性表示，则称向量组(I)也于向量组(II)为等价向量组，记作：(I)\cong(II)

向量组的等价存在以下性质：

  • 自反性
    • 任一个向量组于自身必等价
  • 对称性
    • 若向量组(I)\cong(II)，则(II)\cong(I)
  • 传递性
    • 若向量组(I)\cong(II)，向量组(II)\cong(III),则向量组(I)\cong(III)

向量组的线性相(无)关性

线性相关性的定义

现有s个n维向量\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s，若存在着一组不全为零的数组k_1,k_2,\cdots,k_s，使k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0成立，则称向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s是线性相关的向量组

现有s个n维向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s，若存在着一组不全为零的数组k_1,k_2,\cdots,k_s，使k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\not ={0}成立,或若使k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0成立，只有k_1=0,k_2=0,\cdots,k_s=0,则称向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s是线性无关的向量组

线性相关性判断定理

  • 判定定理1
    • s个n维向量\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性相关（无关）的充要条件为对应的齐次线性方程组k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0有非零解（或只有零解）
    • 推论
      • n个n维向量\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性相关（无关）的充要条件是行列式|A|=|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|=0(或\not ={0})
  • 判定定理2
    • 向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性相关（或无关）的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示（或没有一个向量可由其余向量线性表示）

一些重要定理与结论

  1. 包含零向量的向量组必定线性相关
  2. 包含两个相等向量的向量组必定线性相关
  3. 若一个向量组线性相关，则加上任意多个向量后，新加向量组仍线性相关（部分相关，全体必相关）
  4. 一个向量组线性无关，取出其中任何一部分也必线性无关（全体无关，部分必无关）
  5. 任意n+1个n维向量必线性相关（个数大于维数的向量组必线性相关）
  6. 一个向量组线性无关，则在相同位置出增加一个分量后得到的新向量组（可称加长组）仍线性无关
  7. 一个向量组线性相关，则在相同位置处去掉一个分量最后得到的新向量组（缩短组）仍线性相关
  8. 若\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性无关，而\beta,\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性相关，则\beta必可由\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s唯一地线性表示
  9. 设有向量组(I)\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s，向量组(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t中每个向量都可由向量组(I)线性表示，且t>s,则向量组(II)必线性相关
  10. 若\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t可由\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s线性表示，且\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t线性无关，则t$\leq$s

极大无关组与向量组的秩

极大无关组定义

若向量组（I）\alpha\_{i\_1},\alpha\_{i\_2},\cdots,\alpha\_{i\_m} 是向量组（II）\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,且向量组（I）满足以下两个条件：

  1. 向量组（I）是线性无关的，
  2. 从向量组（II）中任取一个向量加到向量组（I）中都线性相关

则称向量组（I）是向量组（II）的一个极大线性无关组，简称极大无关组

极大无关组的性质

  1. 一个向量组与它的任一个极大无关组之间可以互相线性表出（即等价）
  2. 一个向量组的任两个极大无关组之间也等价
  3. 一个向量组的任两个极大无关组所包含向量的个数必相等
  4. 设向量组\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t可由向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性表出，则r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t) \leq r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)
  5. 两个等价（即可以互相线性表出的向量组），其秩必相等

向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

  • 三秩相等定理
    • 矩阵A的秩r(A)=A的列秩=A的行秩

内积与施密特正交化

向量的内积

内积定义

已知n维实向量


\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T

称


(\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=\sum_{i=1}^n a_ib_i=\alpha^T\beta

为向量\alpha,\beta的内积

内积性质
对称性

(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)

线性性

(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)


(k\alpha,\beta) = k(\alpha,\beta)
正定性

对任意\alpha \in R^n,均有(\alpha,\alpha \geq 0)，且(\alpha,\alpha)=0 \iff \alpha=0

向量的长度

实数|\alpha|=\sqrt{(\alpha,\alpha)} = \sqrt{\sum_{i-1}^n a_i^2}称为向量\alpha的长度（或模）若|\alpha|=1，则称\alpha为单位向量，若\alpha不是单位向量则\alpha方向上的单位向量\alpha_0 = \frac{1}{|\alpha|}\alpha

两向量的夹角

非零向量\alpha与\beta的夹角的余弦为


\cos(\hat{\alpha,\beta})=\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha|\cdot |\beta|}

若(\alpha,\beta)=0(即\cos(\hat{\alpha,\beta})=0或\hat{\alpha,\beta}=\frac{\pi}{2}),则称\alpha与\beta正交，记作\alpha \bot \beta

标准正交向量组

标准正交向量组定义

有s个n维向量\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\leq n)若每一个向量都是非零向量，且每两个向量都正交，则称向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s为正交向量组

正交向量组\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s用内积表示为


(\alpha_i,\alpha_j)=0(i,j=1,2,\cdots s;i\not ={j})且(\alpha_i,\alpha_i)(i=1,2,\cdots,s)

注：正交向量组必线性无关

每个向量都是单位向量的正交向量组称为标准正交向量组（或规范正交向量组），即


(\alpha_i,\alpha_j) = 
    \begin{cases}
        0, & 当i\not ={j}时 \\\\
        1, & 当i=j时
    \end{cases}
施密特正交化方法

用施密特正交化方法可以将任意一组线性无关的向量组改造成为标准正交向量组（先正交化再单位化），若\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n是一组线性无关的向量组，令


\beta_1 = \alpha_1


\beta_2 = -\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 + \alpha_2


\beta_3 = -\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 -\frac{(\alpha_2,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2 + \alpha_3,\cdots,


\beta_n =\frac{(\alpha_n,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 -\frac{(\alpha_n,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2 - \cdots - \frac{(\alpha_n,\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_{n-1})}\beta_{n-1} + \alpha_n

则\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n是一组两两正交的向量组

再令


\gamma_1 = \frac{\beta_i}{|\beta_i|}(i=1,2,\cdots,n),其中|\beta_i| = \sqrt{(\beta_i,\beta_i)}

则\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n就是一组由\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n改造成的标准正交向量组

正交矩阵

若n阶实矩阵A满足AA^T=A^TA=E，则称A为正交矩阵（即A^T=A^{-1}）

n阶矩阵A是正交矩阵的充要条件是

A的n个列（行）向量两两正交，且每个列（行）向量都是单位向量（即A的列（行）向量组为R^n中的一组标准正交向量组）

正交矩阵的行列式不是1就是-1，两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵

线性方程组

线性方程组的4种表示形式

一般表示式

非齐次线性方程组


\begin{cases}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1 \\\\ 
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2 \\\\ 
    \cdots \\\\
    a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=b_m \\\\
\end{cases}

齐次线性方程组


\begin{cases}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=0 \\\\ 
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=0 \\\\ 
    \cdots \\\\
    a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=0 \\\\
\end{cases}

\sum记号表示式

非齐次线性方程组


\sum^n_{j=1}a_{ij}x_j=b_i(i=1,2,\cdots,m)

齐次线性方程组


\sum^n_{j=1}a_{ij}x_j=0(i=1,2,\cdots,m)

矩阵表示式

非齐次线性方程组


AX=b

式中A=(a_{ij})\_{m\times n},X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T,b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T

齐次线性方程组


AX=0

式中A,X同上，0=(0,\cdots,0)^T

向量表示式

非齐次线性方程组


x_1a\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=b

式中\alpha_j=(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj})^T，(j=1,2,\cdots,n),b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T

齐次线性方程组


x_1a\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=0

式中\alpha_j同上，0=(0,\cdots,0)^T是一个m维的零向量

线性方程组有解的判别条件

克莱姆法则

非齐次线性方程组


\begin{cases}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=b_1 \\\\ 
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=b_2 \\\\ 
    \cdots \\\\
    a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=b_m \\\\
\end{cases}

的系数行列式$D=|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots a_{nn} \\ \end{vmatrix} \not = 0$

则方程组有唯一解：x_{j}=\frac{D_j}{D}=(j=1,2,\cdots,n),其中D_j是把D中第j列元素(a_{1j},a_{2j},a_{nj})^T换成常数项(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T而得到的新行列式

齐次线性方程组


\begin{cases}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=0 \\\\ 
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=0 \\\\ 
    \cdots \\\\
    a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=0 \\\\
\end{cases}

的系数行列式$D=|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots a_{nn} \\ \end{vmatrix} \not = 0$

则该齐次线性方程组只有零解：x_j=0(j=1,2,\cdots,n)

推论：若已知上述齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0

非齐次线性方程组有解的判别条件

对于AX=b（其中A为m\times n型矩阵）有解的充要条件是：增广矩阵\tilde{A}=(A,b)的秩与系数矩阵A的秩相等，即r(A,b)=r(A),且

  1. 当r(\tilde{A})=r(A,b)=r(A)=n(未知量的个数)时，方程组有唯一解
  2. 当r(\tilde{A})=r(A,b)=r(A)<n(未知量的个数)时，方程组有无穷多个解

齐次线性方程组有非零解的判别条件

对于AX=0（其中A为m$\times$n矩阵），当r(A)=n(未知量的个数)时，方程组只有零解：X=0；当r(A)<0时，方程组必有非零解（即有无穷多个解）

齐次线性方程组的解结构

齐次线性方程组AX=0的解的性质

  1. 若X_1,X_2都是AX=0的解，则X_1+X_2也是AX=0的解
  2. 对于任意k\in R，若X_1是AX=0的解，则kX_1也都是AX=0的解

齐次线性方程组AX=0的基础解系

若\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t是齐次线性方程组的AX=0的一组解（A为m\times n矩阵，r(A)< n），且

  1. \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t线性无关
  2. AX=0的任一解都可以由它线性表出，则称\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系

AX=0的解的结构

若A为m\times n矩阵，且r(A)< n，则其通解（全部解）为：k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r(A)}\eta_{n-r(A)}其中 \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r(A)}是AX=0的一个基础解系，k_1,k_2,\cdots,k_{n-r(A)}为任意常数

非齐次线性方程组AX=b的解的结构

非齐次线性方程组Ax=b的解的性质

  1. 若X_1,X_2为非齐次线性方程组AX=b的两个解，则其差X_1-X_2必是导出组AX=0的解
  2. 若\eta_0是AX=b的任一解，\eta_1是其导出组AX=0的解，则\eta_0+\eta_1也是非齐次线性方程组AX=b的解

非齐次线性方程组AX=b的解的结构

当r(A,b)=r(A_{m\times n})< n时，其通解（全部解）为


\eta_0+k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r(A)}\eta_{n-r(A)}

其中\eta_0为AX=b的任一个特解，\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r(A)}为导出组AX=0的基础解系，k_1,k_2,\cdots,k_{n-r(A)}为任意常数

矩阵特征值和特征向量

特征值和特征向量

矩阵特征值和特征向量的定义

对n阶矩阵A，若存在一个数\lambda与一个非零的n维向量X，使AX=X成立，则称\lambda是A的一个特征值，称X为A的属于\lambda的特征向量

称行列式


f_A(\lambda)=|\lambda E-A|

为A的特征行列式，称


f_A(\lambda)=|\lambda E-A|=0

为A的特征方程，称\lambda E-A为A的特征矩阵

特征值与特征向量的性质

设\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)为n阶矩阵A=(a_{ij})n\times n的特征值，则有

  1. \sum_{i=1}^n \lambda_i=\sum_{i=1}^na_{ii}(\sum_{i=1}^na_{ii})称为A的迹，记为tr((A)),\prod_{i=1}^n \lambda_i=|A|
  2. A的不同特征值的特征向量必线性无关，这个性质包含两个内容
    1. 若\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s是A的两两不等的特征值，X_1,X_2,\cdots,X_s是A的分别属于\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s的特征向量，则向量组X_1,X_2,\cdots,X_s必线性无关
    2. 若\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s是A的两两不等的特征值，X_{11},x_{12},\cdots,X_{1m_1};X_{21},x_{22},\cdots,X_{2m_2};X_{s1},x_{s2},\cdots,X_{sm_s}必线性无关

进一步延伸的公式

设X_0是A的属于特征值\lambda_0的特征向量，即AX_0=\lambda_0X_0则以下公式也都成立

  1. (kA+tE)X_0=(K\lambda_0+t)X_0，k，t为常数
  2. A^kX_0=\lambda_0^kX_0
  3. f(A)X_0=f(\lambda_0)X_0式中f(A)是A的矩阵多项式，f(\lambda_0)是\lambda_0的同一多项式
  4. 若A可逆，则有A^{-1}X_0=\frac{1}{\lambda_0}X_0
  5. A^*X_0=\frac{|A|}{\lambda_0}X_0
  6. (P^{-1}AP)(P^{-1}X_0)=\lambda_0(P^{-1}X_0)
  7. A^T与A有相同的特征值
  8. 若n阶矩阵A满足f(A)=O则有f(\lambda)=0

矩阵对角化问题

矩阵可对角化的定义

对于n阶矩阵A，若存在一个n阶可逆矩阵P，使


P^{-1}AP=\Lambda(\Lambda为对角矩阵)

成立，则称A可相似对角化，简称A可对角化，否则就称A不可对角化

若n阶矩阵A可以对角化，则对角矩阵\Lambda的n个对角线元素必是A的n个特征值\lambda_1,\lambda_2,\cdots,X_n(包括重根)，其相似变换矩阵P的n个列向量X_1,X_2,\cdots,X_n是A的分别属于\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n的特征向量，且X_1,X_2,\cdots,X_n线性无关，即有


P^{-1}AP=A,

其中


\Lambda = \begin{bmatrix}
  \lambda_1 \\\\
   & \lambda_2 \\\\
   & & \ddots \\\\
   & & & \lambda_n
\end{bmatrix},
P=(X_1,X_2,\cdots,X_n)为可逆矩阵，且AX_j=\lambda_j X_j(j=1,2,\cdots,n)

矩阵可对角化的有关定理

  1. n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
  2. 若n阶矩阵A有n个两两不等的特征值，则A必可对角化
  3. 设\lambda_i是矩阵A的任一个特征值，其代数重数为n_i（即\lambda_i是n_i的重特征值），其几何重数为m_i（即属于\lambda_i的线性无关的特征向量的最大个数，也是齐次线性方程组(\lambda_iE-A)X=0的基础解系中的向量个数，m_i=n-r(\lambda_iE-A)）,则恒有m_i\leq n_i
  4. 设n阶矩阵A的两两不等的特征值为\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s(1\leq s\leq n)则矩阵A可对角化的充要条件是对A的每一个特征值\lambda_i，都有m_i=n_i(i=1,2,\cdots,s)

二次型

二次型及其表示法

二次型定义

n个变量x_1,x_2,\cdots,x_n的一个二次齐次多项式


\begin{aligned}
  f(x_1,x_2,\cdots,x_n) & = a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+3a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n \\\\
  & + a_{22}x_2^2 + 2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n \\\\
  & + a_{33}x_3^2 + \cdots + 2a_{3n}x_3x_n \\\\
  & + \cdots + a_{nn}x_n^2
\end{aligned}

称为一个关于x_1,x_2,\cdots,x_n的二次型

二次型的矩阵表达式

设$X=(x_1,x_2,\cdots,x_n),A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

则

f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX

称A为二次型对应的矩阵

二次型的标准形与规范形

实二次型的标准形

若


\begin{aligned}
f(X)&=X^TAX\overset{X=CY}{=}Y^T(C^TAC)Y \\\\
& =d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2 \\\\
& =Y^T \cdot diag(d_1,d_2,\cdots,d_n) \cdot Y
\end{aligned}

则称平方和


d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2

为二次型f(X)=X^TAX的一个标准形

任一个实二次型f(X)=X^TAX经过适当的可逆线性替换X=CY总可化成标准形（即平方和）即实对称矩阵总可与一个对角矩阵合同;


C^TAC=B=diag(d_1,d_2,\cdots,d_n)
实二次型的规范形

形如

f(X)=X^TAX \overset{X=DZ}{=} z_1^2+z_2^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2+0 \cdot z_{p+q+1}^2+\cdots+0 \cdot z_n^2

的标准型称为f(X)的规范形，其中p称为正惯性指数，q称为负惯性指数

惯性定理

任意一个实系数的二次型f(X)=X^TAX总可经过一个适当的可逆线性替换化成规范形，其规范形是唯一的，与所选的坐标变换无关，即正平方向个数P，负平方项个数q由原二次型f(X)=X^TAX唯一确定

用矩阵的语言来讲：实对称矩阵总可与对角阵

diag(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)

合同，且p+q=r(A)，其中p，q为不变的量

配方法化二次型为标准型

任一个实二次型总可用配方的方法通过一个适当的可逆线性替换化为标准形

正交变换法化实二次型为标准形

设f(X)=X^TAX,因为A为实对称矩阵，由实对称矩阵必可通过正交变换化为对角阵A，其主对角线元素必为A的全部特征值，而正交变换(Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda)中包含了合同变换，因此当作变换X=QY后，二次型f(X)即变为


\begin{aligned}
g(Y)&=Y^T(Q^TAQ)Y=Y^T\Lambda Y \\\\
& =d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2
\end{aligned}

任一个实二次型f(X)=X^TAX总可通过变量间的正交替换X=QY化为标准形（平方和），其平方项前的系数必是A的全部特征值

正定二次型及其判定

正定二次型

设f(X)=X^TAX是一个实二次型，若对于任意X_0\not ={0},f(X_0)=X_0^TAX_0>0恒成立，则称f(X)=X^TAX为正定二次型，称对应矩阵A为正定矩阵

二次型正定的判定

判断正定性的充分必要条件
  1. 实二次型f(X)=X^TAX正定\iff正惯性指数p=n
  2. 实二次型f(X)=X^TAX正定\iff$A与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵P，使$P^TAP=E成立
  3. 实二次型f(X)=X^TAX正定\iff存在可逆矩阵C，使A=C^TC
  4. 实二次型f(X)=X^TAX正定$\iff$A的特征值全大于0
  5. 实二次型f(X)=X^TAX正定$\iff$A的和各阶顺序主子式全部大于0，即

\begin{vmatrix}
  a_{11}
\end{vmatrix}> 0


\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} \\\\
  a_{21} & a_{22} 
\end{vmatrix}> 0


\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\
  a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}> 0


\cdots


\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
  a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} > 0
  1. 实二次型f(X)=X^TAX正定$\iff$A与一个正定矩阵合同
实对称矩阵A正定的必要条件

实二次型f(X)=X^TAX正定\longrightarrow|A|>0;a_{ii}>0(i=1,2,...,n)