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continuous-integration/drone/push Build is passing
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continuous-integration/drone/push Build is passing
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50526116d3
commit
dbca422155
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@ -247,8 +247,631 @@ $
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## 矩阵
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### 矩阵定义
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### 矩阵定义与运算
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#### 矩阵定义
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由m$\times$n个数$a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$排列成的m行n列的数表
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$$
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\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\\\
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\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\\\
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a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\\
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\end{vmatrix}
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$$
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称为m$\times$n矩阵，记为$A=(A_{ij})_{m\times n}$,其中a_{ij}称为矩阵A的第i行第j列的元素
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1. 当n=m时，A也称为n阶方阵，|A|称为A的行列式
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2. 两个矩阵$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})_{s\times k}$,如果m=s，n=k，则称它们为同型矩阵
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3. 如果两个同型矩阵$A=a_{ij},B=(b_{ij}){ m \times n}$对应的元素相等，也即$a_{ij} = b_{ij}(i=1,\cdots,mj=1,\cdots,n)$,则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
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常见的特殊矩阵：
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* 零矩阵，所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为$O$
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* 对角矩阵：主对角线以外的元素均为0的矩阵，称之为对角矩阵，即$$diag(a_1,a_2,\cdots,a_n) = \begin{pmatrix}
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a_1 \\\\
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& a_2 \\\\
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& & \vdots \\\\
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& & & a_n
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\end{pmatrix}$$两个对角矩阵的乘积仍是对角矩阵
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* 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称之为单位矩阵，记作E。单位矩阵与任何矩阵相乘都可以交换，即$$EA=AE=A$$
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* 上（下）三角矩阵，主对角线以下的元素全为0的矩阵称之为上三角矩阵，主对角线以上的元素全为0的矩阵称为下三角矩阵
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* 对称矩阵：满足条件$A^T = A$的n阶矩阵A称为对称矩阵，即A为对称矩阵$\iff a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n)$
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* 反对称矩阵：满足条件$A^T=-A$的n阶矩阵A称为反对称矩阵，即$A=(a_{ij})_{ n\times n }(i,j=1,2,\cdots,n)$
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* 正交矩阵：设A是n阶矩阵，如果$AA^T = A^TA=E$，则称A是正交矩阵
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#### 矩阵运算
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##### 矩阵加法(两个相加的矩阵必须同型)
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设$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$是两个$m\times n$矩阵，定义矩阵$C=(c_{ij}) = (a_{ij}+b_{ij})$为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B
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* 运算性质
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* A+B=B+A（交换律）
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* (A+B)+C = A+(B+C)（结合律）
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* A + O = A（其中$O=(0)_{m\times n}$
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* A + (-A) = $O$（其中$-A = (-a_{ij})_{m\times n}$
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##### 矩阵的数乘
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设$A=(a_{ij})$是一个$m\times n$矩阵，k为任意实数，则定义$kA = (ka_{ij})(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$为矩阵的数乘
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* 运算性质
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* $k(lA) = (kl)A = l(kA)(k,l为数)$
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* $(A+B)+C=A+(B+C)$
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* $k(A+B) = KA+KB$
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* $(k+l)A = KA+A$
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##### 矩阵的乘法
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设
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$A=(a_{ij})_{m \times n}$
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$B=(b_{ij})_{n \times k}$
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定义矩阵$C=(c_{ij})_{m\times k}$,其中
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$c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}+b_{nj}=\sum^n_{k=1}a_{ik}b_{kj}$
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称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作C=AB
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* 数乘的运算性质
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* (AB)C = A(BC)
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* A(B+C) = AB+AC
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* (B+C)A = BA+CA
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* (KA)B = A(KB) = K(AB)
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注：
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1. 两个相乘的矩阵AB必须保证A的列数和B的行数相等
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2. 矩阵乘法一般不满足交换律，AB$\not ={BA}$
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3. 矩阵的运算不满足消去律，即由AB=AC且A$\not ={O}$得不出B=C
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4. 零因子定律不成立，即由AB=O不能得到A=O或B=O
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5.
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##### 方阵的乘幂运算
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如果矩阵A为方阵，则定义$A^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n个A}$为矩阵A的n次幂，规定$A^0 = E$
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* 运算性质
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* $A^K \cdot A^l = A^{k+l}$
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* $(A^k)^l = A^{kl}$
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* 一般情况下，$(A \cdot B)^k \not ={A^k \cdot B^k}$
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##### 矩阵的转置
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设$A_{m \times n}=\begin{bmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
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a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
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\end{bmatrix}_{m \times n}$
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定义A的转置矩阵为
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$A^T=\begin{bmatrix}
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a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\\\
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a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\\\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
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a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
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\end{bmatrix}_{m \times n}$
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即转置矩阵$A^T$的第i行第j行元素等于原矩阵A的第j行第i列元素
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* 运算规则
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* $(A^T)^T = A$
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* $(A+B)^T = A^T+B^T$
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* $(AB)^T = B^TA^T$
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* $(kA)^T = k \cdot A^T$
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##### 方阵的行列式
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若
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$A=(a_{ij})_{m \times n}$
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$B=(b_{ij})_{n \times k}$
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则
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$|A|=\begin{vmatrix}
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a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\\
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a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
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a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
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\end{vmatrix}$
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且$|kA|=k^n|A|,|AB|=|A||B|$
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##### 矩阵的求逆运算
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###### 逆矩阵定义定理
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若AB均为n阶方阵，且满足AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，又称B是A的逆矩阵，记作$B=A^{-1}$
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1. 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵$A^{-1}$是唯一的
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2. 矩阵A可逆的充分必要条件是$|A|\not ={0}$
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3. 若$|A|\not ={0}$,则$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* $,其中$$A^*=\begin{bmatrix}
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A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\\\
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A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\\\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\
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A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn}
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\end{bmatrix}$$称为A的伴随矩阵（其中$A_{ij}$是元素$a_{ij}的代数余子式$）
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4. 由 $A^*$ 构造可得公式 $AA^ * = A^*A=|A|E$
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###### 运算规则
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若AB均为n阶可逆矩阵
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1. $(A^{-1})^{-1}=A$
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2. 若$k\not ={0}$为常数，则 $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$
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3. $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
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4. $A^T$也可逆，且 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^{T}$
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5. $|A^{-1}|=|A|^{-1}$
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### 矩阵的秩
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#### k阶子式的定义
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在$A_{m\times n }$中，任取k行、k列，在这k行k列的交错处有$k^2$个元素，这$k^2$个元素按原有的次序构成一个k阶行列式，称为A的一个k阶子式
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#### 矩阵的秩的定义
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在$A_{m\times n }$中，至少有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，则称A的秩的位r，记作rank(A) = r，简记为r(A) = r或R(A)=r
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#### 矩阵在运算后秩的变化规律
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1. $r(A^T)=r(A)$
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2. $r(A_{m \times n}) \leq \min{(m,n)}$
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3. $r(A)=0\iff A=O$
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4. $r(kA) = \begin{cases}
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r(A),k\not = 0 \\\\
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0,k=0
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\end{cases}$
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5. $r(A+B)\leq r(A) + r(B)$
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6. $R(A+B) \leq \min{(r(A),r(B))}$
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7. 若有矩阵$A_{m\times n},B_{n \times s}$且$AB=O$,则$r(A)+r(B) \leq n$
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8. 若PQ为满秩方阵，则$r(PA) = r(A) = r(AQ)=r(PAQ)$
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9. 初等变换不改变矩阵的秩，若B式阶梯型矩阵，则r(B)等于B中非零行的个数
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10. 伴随矩阵$A^* $的秩
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$r(A^*) = \begin{cases}
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n,r(A) = 0 \\\\
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1,r(A) = n-1 \\\\
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0,r(A) \leq n-2
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\end{cases}$
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### 分块矩阵
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#### 分块矩阵定义
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用贯穿矩阵的横线和纵线把一个矩阵分为若干小块，每个小块称为原矩阵的子块，一般记作$A_{ij}$,分成字块的矩阵叫做分块矩阵，
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$$
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||||
A=
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||||
\left[
|
||||
\begin{array}{cc:cc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\
|
||||
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\
|
||||
\hdashline a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\
|
||||
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right] =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
A_{11} & A_{12} \\\\
|
||||
A_{21} & A_{22}
|
||||
\end{bmatrix}_{2\times 2} =
|
||||
(A\_{ij})\_{2 \times 2}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
A=
|
||||
\left[
|
||||
\begin{array}{c:c:c:c}
|
||||
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\
|
||||
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\
|
||||
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\
|
||||
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right] =(p_1,p_2,p_3,p_4)\_{1 \times 4}
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$$
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||||
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||||
#### 分块矩阵的运算
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##### 加法
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A,B$\in M_{m,n}$且有相同的分块划分方法$A=(A\_{ij})\_{s\times t},B=(B\_{ij})\_{s\times t}$则$A+B=(A_{ij}+B_{ij})\_{s \times t}$(每个对应字块可以相加)
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##### 数乘
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设$A=(A\_{ij})\_{s\times t}$则$kA=(kA\_{ij})\_{s \times t}$
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##### 转置
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||||
若
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||||
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||||
$$
|
||||
A=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\\\
|
||||
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\\\
|
||||
\vdots & \vdots & &\vdots \\\\
|
||||
A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{st}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
则
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||||
$$
|
||||
A^T=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
A^T_{11} & A^T_{21} & \cdots & A^T_{s1} \\\\
|
||||
A^T_{12} & A^T_{22} & \cdots & A^T_{s2} \\\\
|
||||
\vdots & \vdots & &\vdots \\\\
|
||||
A^T_{1s} & A^T_{2s} & \cdots & A^T_{st}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
即分块矩阵先转置后，再将每个子矩阵分别单独转置
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||||
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||||
##### 乘法
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||||
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||||
$$
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||||
A=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\\\
|
||||
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\\\
|
||||
\vdots & \vdots & &\vdots \\\\
|
||||
A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{st}
|
||||
\end{bmatrix} =
|
||||
(A\_{ij})\_{s\times t} \in M\_{m \times n}
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
B=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r} \\\\
|
||||
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r} \\\\
|
||||
\vdots & \vdots & &\vdots \\\\
|
||||
B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr}
|
||||
\end{bmatrix} =
|
||||
(B\_{jK})\_{t\times r} \in M\_{m \times n}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
C=AB =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1r} \\\\
|
||||
C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2r} \\\\
|
||||
\vdots & \vdots & &\vdots \\\\
|
||||
C_{s1} & C_{s2} & \cdots & C_{sr}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
其中$C_{ik} = A_{i1}B{1k} + A_{i2}B_{2k}+\cdots + A_{it}B_{tk} = \sum^t_{j=1}A_{ij}B_{jk}(i=1,\cdots,s;k=1,\cdots,r)$
|
||||
|
||||
#### 分块对角形（对角块）矩阵
|
||||
|
||||
一般地，分块矩阵$A=\begin{bmatrix}
|
||||
A_{11} & O & \cdots & O \\\\
|
||||
O & A_{22} & \cdots & O \\\\
|
||||
\vdots & \vdots & &\vdots \\\\
|
||||
O & O & \cdots & A_{ss}
|
||||
\end{bmatrix}$
|
||||
|
||||
简记为$A=\begin{bmatrix}
|
||||
A_{11} & & & \\\\
|
||||
& A_{22} & & \\\\
|
||||
& & \ddots & \\\\
|
||||
& & & A_{ss}
|
||||
\end{bmatrix}$其中$A_{ij}$均为小方阵，则称A为对角块矩阵或分块对角形矩阵，若AB均为对角块矩阵，则A+B，AB也为对角块矩阵
|
||||
|
||||
$A+B =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
A_{1} & & & \\\\
|
||||
& A_{2} & & \\\\
|
||||
& & \ddots & \\\\
|
||||
& & & A_{s}
|
||||
\end{bmatrix} +
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
B_{1} & & & \\\\
|
||||
& B_{2} & & \\\\
|
||||
& & \ddots & \\\\
|
||||
& & & B_{s}
|
||||
\end{bmatrix} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
A_{1}+B_{1} & & & \\\\
|
||||
& A_{2}+B_{2} & & \\\\
|
||||
& & \ddots & \\\\
|
||||
& & & A_{s}+B_{s}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$
|
||||
|
||||
$A_i,B_i$为同阶子矩阵
|
||||
|
||||
$AB =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
A_{1} & & & \\\\
|
||||
& A_{2} & & \\\\
|
||||
& & \ddots & \\\\
|
||||
& & & A_{s}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
B_{1} & & & \\\\
|
||||
& B_{2} & & \\\\
|
||||
& & \ddots & \\\\
|
||||
& & & B_{s}
|
||||
\end{bmatrix} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
A_{1}B_{1} & & & \\\\
|
||||
& A_{2}B_{2} & & \\\\
|
||||
& & \ddots & \\\\
|
||||
& & & A_{s}B_{s}
|
||||
\end{bmatrix}$
|
||||
|
||||
对角块矩阵的逆矩阵公式（设$A_1,A_2,A_3$均可逆）
|
||||
|
||||
$$\begin{bmatrix}
|
||||
A_{1} & & & \\\\
|
||||
& A_{2} & & \\\\
|
||||
& & & A_{3}
|
||||
\end{bmatrix}^{-1} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
A_{1}^{-1} & & & \\\\
|
||||
& A_{2}^{-1} & & \\\\
|
||||
& & & A_{3}^{-1}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
& & & A_{1} \\\\
|
||||
& A_{2} & & \\\\
|
||||
A_{3} & & &
|
||||
\end{bmatrix}^{-1} =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
& & & A_{1}^{-1} \\\\
|
||||
& A_{2}^{-1} & & \\\\
|
||||
A_{3}^{-1} & & &
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### 矩阵初等变换与初等矩阵
|
||||
|
||||
#### 初等行（列）变换
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||||
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||||
对矩阵施加三种行（列）变换
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||||
|
||||
1. 交换变换：互换矩阵中的某两行（列）
|
||||
2. 倍乘变换：用一个非零常数k乘矩阵的某行（列）
|
||||
3. 倍加变换：将矩阵的某行（列）的k倍加到另一行（列）上
|
||||
|
||||
#### 阶梯形矩阵
|
||||
|
||||
形如
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 1 & 3 \\\\
|
||||
0 & 0 & 2 \\\\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 2 & -1 & 2 & 5 \\\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\
|
||||
0 & 0 & 0 & 4 & 1
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||||
\end{bmatrix},
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||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 & -1 \\\\
|
||||
0 & 2 & 3 \\\\
|
||||
0 & 0 & 3
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||||
\end{bmatrix}
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$$
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的矩阵称为阶梯形矩阵
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特征：
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1. 全零行位于矩阵的最下方
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2. 每个非零行的第一个非零元素$c_{ij}$（主元）的列标j随着行标i的递增而严格增大
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3. 任一个矩阵经过若干次初等行（列）变换都可以化成阶梯形矩阵
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#### 初等矩阵
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单位矩阵做了一次初等行（列）变换的矩阵
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##### 初等行交换矩阵
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将单位矩阵的第i行，第j行交换后得到的矩阵，记作
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$$
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p((i)\leftrightarrow(j)) = \begin{bmatrix}
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||||
1 & & & \\\\
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||||
& \ddots & & \\\\
|
||||
& & 0 &\cdots & 1 & &\\\\
|
||||
& &\vdots & &\vdots & & \\\\
|
||||
& & 1 & \cdots & 0 & & \\\\
|
||||
& & & & & \ddots \\\\
|
||||
& & & & & & 1
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||||
\end{bmatrix}
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||||
$$
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||||
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||||
作用：将初等行变换矩阵左乘A，即$p((i)\leftrightarrow(j))A=A_1$,A_1就是将A的第i行、第j行交换后的结果
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||||
##### 初等行倍乘矩阵
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||||
将单位矩阵的第i行乘以不为零的常数k后所得到的矩阵，记
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||||
$$
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P((k(i))) = \begin{bmatrix}
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||||
1 & \\\\
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||||
& \ddots \\\\
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||||
& & k \\\\
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||||
& & & \ddots \\\\
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||||
& & & & 1
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||||
\end{bmatrix}
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||||
$$
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||||
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||||
作用：若$P(k(i))A = A_2$，则$A_2$就是将A的第i行乘上k倍后的结果
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||||
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||||
##### 初等行倍加矩阵
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||||
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||||
将单位矩阵第i行的k倍加到第j行后所得到的矩阵，记作
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||||
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||||
$$
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||||
P(k(i)+(j)) = \begin{bmatrix}
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||||
1 \\\\
|
||||
& \ddots \\\\
|
||||
& & 1 \\\\
|
||||
& & \vdots & \ddots \\\\
|
||||
& & k & \cdots & 1 \\\\
|
||||
& & & & & \ddots \\\\
|
||||
& & & & & & 1
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||||
\end{bmatrix}
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||||
$$
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||||
|
||||
作用：若$P(k(i)+(j))A = A_3$,则$A_3$就是将A的第i行的k倍加到第j行上的结果
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||||
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||||
##### 初等列交换矩阵
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||||
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||||
将单位矩阵第i行与第j列交换后所得到的矩阵，记作
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||||
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||||
$$
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||||
Q((i)\leftrightarrow(j)) = \begin{bmatrix}
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||||
1 & & & \\\\
|
||||
& \ddots & & \\\\
|
||||
& & 0 &\cdots & 1 & &\\\\
|
||||
& &\vdots & &\vdots & & \\\\
|
||||
& & 1 & \cdots & 0 & & \\\\
|
||||
& & & & & \ddots \\\\
|
||||
& & & & & & 1
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||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
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||||
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||||
作用：将初等列交换矩阵右乘A，即若$AQ((i)\leftrightarrow(j))=A_4$则$A_4$就是将A的第i列与第j列交换后的结果
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||||
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||||
##### 初等列倍乘矩阵
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||||
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||||
将单位矩阵的第i列乘以一个不等于零的常数k后得到的矩阵，记作
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||||
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||||
$$
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||||
Q((k(i))) = \begin{bmatrix}
|
||||
1 & \\\\
|
||||
& \ddots \\\\
|
||||
& & k \\\\
|
||||
& & & \ddots \\\\
|
||||
& & & & 1
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||||
\end{bmatrix}
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||||
$$
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||||
|
||||
作用：若$AQ(k(i)) = A_5$，则$A_5$就是将A的第i列乘上k倍后的结果
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||||
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||||
##### 初等列倍加矩阵
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||||
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||||
将单位矩阵的第i列的k倍加到第j列后得到的矩阵，记作
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||||
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||||
$$
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||||
Q((i)+(j)) = \begin{bmatrix}
|
||||
1 & & & \\\\
|
||||
& \ddots & & \\\\
|
||||
& & 1 &\cdots & k & &\\\\
|
||||
& & & \ddots &\vdots & & \\\\
|
||||
& & & & 1 & & \\\\
|
||||
& & & & & \ddots \\\\
|
||||
& & & & & & 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
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||||
|
||||
作用：若$AQ(k(i)+(j)) = A_6$则$A_6$就是将A的第i列的k倍加到第j列上的结果
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#### 初等行变换与初等列变换矩阵的关系
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1. $P((i)\leftrightarrow(j))=Q((i)\leftrightarrow(j))=Q^T((i)\leftrightarrow(j))$
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||||
2. $P(k(i))=Q(k(i))=Q^T(k(i))$
|
||||
3. $P(k(i)+(j))=Q^T(k(i)+(j))$
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即：初等行变换矩阵与同类型的初等列变换矩阵之间为转置关系
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#### 定理
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1. 初等矩阵都是可逆矩阵
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2. 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵
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3. 任一个可逆矩阵经过有限次的初等行变换都可以化成单位矩阵
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4. 一个可逆矩阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积
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#### 初等行（列）变换法求矩阵的秩
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初等行（列）变换不改变矩阵的秩
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矩阵的初等行（列）变换前后，矩阵的秩是相等的，而阶梯形矩阵的秩等于阶梯形矩阵中非零行的个数，有任一个矩阵都可经过若干次初等行（列）变换成阶梯型矩阵，因此任一个矩阵的值都可以通过初等行（列）变换成阶梯形矩阵后方便地取得
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#### 矩阵关系
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##### 等价
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* 定义
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* 若矩阵A可以经过一系列初等行（列）变换后化成矩阵B，则称矩阵AB是等价的，记作$A\cong B$
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* 性质
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* $A \cong A$
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* $A\cong B$则$B \cong A$
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* $A\cong B,B \cong C 则 A\cong C$
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* 同型矩阵A与B等价$\iff r(A)=R(B)$
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##### 相似
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* 定义
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* 对于同阶方阵A,B，若存在$|P|\not ={0}$，使$P^{-1}AP=B$,则称A与B相似，记作$A\backsim B$
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* 性质
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||||
* $A\backsim B$
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||||
* $A\backsim B$,则$B \backsim A$
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||||
* $A\backsim B,B \backsim C$则$A \backsim C$
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||||
* 若$A\backsim B$则$A^T\backsim B^T$
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||||
* 若AB可逆且$A\backsim B$，则$A^{-1}\backsim B^{-1}$
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||||
* $A\backsim B \Rightarrow A^n \backsim B^n$，n为正整数
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* 相似矩阵右相同的特征值
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* 相似矩阵的行列式、秩相等
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* 同阶实对称矩阵相似的充要条件是它们有相同的特征值
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##### 合同
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* 定义
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* 对于同阶方阵AB，若存在$|P|\not ={0}$,使$P^TAP=B$则称A与B合同，记为$A\cong B$
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* 性质
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* $A \cong A$
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* $A\cong B$则$B \cong A$
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||||
* $A\cong B,B \cong C 则 A\cong C$
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* 同阶实对称矩阵合同的充要条件是秩相等且正惯性指数相等
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#### 矩阵等价、相似、合同的关系
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* 相似$\iff$等价
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* 合同$\iff$等价
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* 若A与B都是实对称矩阵，则A与B相似$\iff$A与B合同
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#### 矩阵特征值与特征向量
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* 定义
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* 若存在非零向量$\alpha$，使$A \alpha = \lambda \alpha$,则称$\lambda$为方阵A的特征值，$\alpha$是A的属于特征值$\lambda$的特征向量
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* 性质
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||||
* 若$\lambda$是A的特征值，则$\lambda^k$是$A^k$的特征值
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||||
* 若$\lambda \not ={0}$是A的特征值，则$\lambda^{-1}$是$A^{-1}$的特征值
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||||
* 若$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是A的特征值，则$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$(A的迹)$$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|$$
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* A与$A^T$有相同的特征值
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* 矩阵A属于不同特征值的特征向量必线性无关
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* 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交
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#### 矩阵可逆的充要条件
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A可逆$\iff$|A|$\not ={0} \iff A=P_1P_2\cdots P_l，$其中$P_i$(i=1,2,$\cdots$,l)为初等矩阵$$\iff A \backsim E(E为n阶单位矩阵)$$
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#### 矩阵等价的充要条件
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$A\cong B \iff$存在可逆矩阵P,Q使PAQ=B$\iff$r(A) = r(B)
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## 向量
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