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| 《线性代数》行列式 | 2023-08-06T19:43:02+08:00 |
行列式
本质：描述线性变换过程中，一个给定区域的面积增大或减小的比例
当矩阵的行列式为0时，表明将整个平面压缩到一条线甚至是一个点上,即只需要确认行列式是否为0就能了解该矩阵的变换是否导致空间降低维度
行列式中允许出现负值，负值时意味着翻转的方式来改变了空间的方向,行列式的绝对值依旧表示面积的缩放大小
三维空间行列式
与二维空间类似，此时表示体积的缩放大小
在三维空间中，往往聚焦于三个基向量围成的体积为1的立方体，在线性变换后立方体往往会变为一个平行六面体，此时行列式可以简单看作这个平行六面体的体积
行列式为0时，意味着立方体的体积变换为0，即一个平面或一条直线，甚至一个点
行列式为负值时，涉及空间方向改变
空间正向使用右手法则来定义即右手食指指向\hat{i}方向，中指指向\hat{j}方向，大拇指指向\hat{k}方向，如果在变换后只能用左手表示，则说明行列式为负
行列式计算公式
det(\begin{bmatrix}
a & b \\\\
c & d
\end{bmatrix}) = ad -bc
直观理解：
即使其中一项为0，最后得到的依旧是一个平行四边形
公式中bc值的确切含义
三维空间中的行列式计算
$det(\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}) = a \ det(\begin{bmatrix} e & i \\ h & f \end{bmatrix}) - b \ det(\begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix}) + c \ det(\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}) $
矩阵相乘本质是两次线性变换，而行列式是线性变换后面积变化比例，在顺序不变情况下，自然行列式的值乘积相等
det(M_1M_2) = det(M_1) det(M_2)