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title: "《线性代数》行列式"
date: 2023-08-06T19:43:02+08:00

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## 行列式

本质：描述线性变换过程中，一个给定区域的面积增大或减小的比例


![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E6%9C%AC%E8%B4%A8.gif)

当矩阵的行列式为0时，表明将整个平面压缩到一条线甚至是一个点上,即只需要确认行列式是否为0就能了解该矩阵的变换是否导致空间降低维度


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行列式中允许出现负值，负值时意味着翻转的方式来改变了空间的方向,行列式的绝对值依旧表示面积的缩放大小


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## 三维空间行列式

与二维空间类似，此时表示体积的缩放大小

在三维空间中，往往聚焦于三个基向量围成的体积为1的立方体，在线性变换后立方体往往会变为一个平行六面体，此时行列式可以简单看作这个平行六面体的体积

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行列式为0时，意味着立方体的体积变换为0，即一个平面或一条直线，甚至一个点

行列式为负值时，涉及空间方向改变

空间正向使用右手法则来定义即右手食指指向$\hat{i}$方向，中指指向$\hat{j}$方向，大拇指指向$\hat{k}$方向，如果在变换后只能用左手表示，则说明行列式为负

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E4%B8%89%E7%BB%B4%E4%B8%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E8%B4%9F%E5%80%BC.gif)

## 行列式计算公式

$$
det(\begin{bmatrix}
    a & b  \\\\
    c & d
\end{bmatrix}) = ad -bc
$$

直观理解：

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E5%85%AC%E5%BC%8F%E7%9B%B4%E8%A7%82%E7%90%86%E8%A7%A3.gif)

即使其中一项为0，最后得到的依旧是一个平行四边形

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/%E5%8F%AA%E6%9C%89%E4%B8%80%E9%A1%B90.png)

公式中bc值的确切含义

![](../../images/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E3%80%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%80%8B%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/bc%E7%9A%84%E7%A1%AE%E5%88%87%E5%90%AB%E4%B9%89.png)

三维空间中的行列式计算

$det(\begin{bmatrix}
    a & b & c \\\\
    d & e & f \\\\
    g & h & i
\end{bmatrix}) = 
a \\ det(\begin{bmatrix}
    e & i  \\\\
    h & f
\end{bmatrix}) - 
b \\ det(\begin{bmatrix}
    d & f  \\\\
    g & i
\end{bmatrix}) +
c \\ det(\begin{bmatrix}
    d & e  \\\\
    g & h
\end{bmatrix})
$

矩阵相乘本质是两次线性变换，而行列式是线性变换后面积变化比例，在顺序不变情况下，自然行列式的值乘积相等

$det(M_1M_2) = det(M_1) det(M_2)$