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title: "《线性代数》逆矩阵、列空间和秩"
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date: 2023-08-06T22:46:23+08:00
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## 矩阵的用途
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可参与求解线性方程组(每一个方程中，所有的未知量只有常系数。未知量之间只加和)
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$$
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\left\\{
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\begin{array}{c}
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2x+5y+3z &=-3 \\\\
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4x+0y+8z &=0 \\\\
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1x+3y+0z &=2 \\\\
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\end{array}
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\right.
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$$
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线性方程组也可以合并为一个向量方程,方程有一个包含所有常数系数的矩阵，一个包含所有未知量的向量及乘积所得到的一个常数向量
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$$
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\overbrace{\begin{bmatrix}
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2 & 5 & 3 \\\\
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4 & 0 & 8 \\\\
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1 & 3 & 0
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\end{bmatrix}}^{A}
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\overbrace{\begin{bmatrix}
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x \\\\
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y \\\\
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z
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\end{bmatrix}}^{\vec{x}} =
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\overbrace{\begin{bmatrix}
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-3 \\\\
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0 \\\\
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2
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\end{bmatrix}}^{\vec{V}}
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$$
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由此可得出几何关系$A\vec{x} = \vec{V}$
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## 二维方程组
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对于方程组
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$$
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\left\\{
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\begin{array}{c}
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2x+2y &=-3 \\\\
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1x+3y &=0 \\\\
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\end{array}
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\right.
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$$
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A为2$\times2$矩阵，V和X都是二维向量
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$$
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\underbrace{\begin{bmatrix}
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2 & 2 \\\\
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1 & 3
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\end{bmatrix}}_{A}
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\underbrace{\begin{bmatrix}
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x \\\\
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y
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\end{bmatrix}}_X =
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\underbrace{\begin{bmatrix}
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-4 \\\\
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-1
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\end{bmatrix}}_V
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$$
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方程解则依赖于A所表示的线性变换是将空间挤压到更低维度还是保持完整二维空间，即A的行列式的值是否为0
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A的行列式非0，即空间未被挤压为零面积的区域，随机选取矩阵时遇到此情况概率很大，因此对于这样的两个未知量，两个方程的方程组几乎存在唯一解
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此时有且只有一个向量在变换后与V重合，能够跟踪V的动向，逆向变换V得到这个向量
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逆向变换时对应一种逆变换，称A的逆，记
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$$
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\underbrace{\begin{bmatrix}
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3 & 1 \\\\
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0 & 2
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\end{bmatrix}^{-1}}_{A^{-1}}
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$$
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A逆是满足以下性质的唯一变换
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首先应用A的变换，再应用A逆的变换会回到原始状态
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在矩阵乘法上表现为相乘得到一个什么也不做的矩阵（保持基向量不变）
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$$
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A^{-1}A =
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 \\\\
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0 & 1
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\end{bmatrix}
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$$
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由此可知，一旦得知$A^{-1}$就能通过在两边同时乘A的逆矩阵的方式来求解向量方程
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$$
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\underbrace{A^{-1}A}_{什么也不做矩阵}\vec{X} = \vec{V}A^{-1}
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$$
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随后得到的$\vec{X} = \vec{V}A^{-1}$则在几何上表示逆向进行变换且跟踪$\vec{V}$的动向
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这种思想依旧适用于高维情况下，只要行列式不为零，就存在逆变换使得应用A变换再应用A逆变换后与原矩阵相同
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$$
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A^{-1}A =
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\begin{bmatrix}
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1 & 0 & 9 \\\\
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0 & 1 & 0 \\\\
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0 & 0 & 1
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\end{bmatrix}
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$$
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求解方程也与二维相同
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$$
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\underbrace{A^{-1}A}_{什么也不做矩阵}\vec{X} = \vec{V}A^{-1}
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$$
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行列式为0时
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此时不存在逆变换，无法将一条线变为一个平面（此操作会让单个向量映射为多个向量，不满足线性变换类似函数的一一对应）
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对三维空间同样生效，变换将三维空间压缩为一个平面乃至一条直线或一个点，也不存在逆变换
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此时依旧可能存在解
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对于二维，需要让向量V恰好处于这条直线上
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## 秩
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变换结果为一条直线，即一维结果，则称秩为1
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变换后平面落在平面上，则称变换的秩为2
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由此，秩表示变换后的空间的维数
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对于一个2$\times$2的矩阵，最大秩为2，基向量能张成整个二维空间且行列式不为0，对于3$\times$3矩阵而言，则是被压缩为一个平面
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所有可能的输出向量$A\vec{v}$的集合称为矩阵的列空间
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由此我们可以推断出，秩的更准确定义是列空间的维数，秩的值最大时，表明秩与列数相等，称满秩
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由于线性变换必须保持原点位置不变，所以零向量必定包含在列空间中
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对于一个满秩变换，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身，非满秩变换则将空间压缩到更低维度上，意味着存在一系列向量在变换后变为零向量
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变换后落在原点的向量的集合则称为矩阵的零空间或核
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对于一个线性方程组，如果向量V恰好为零向量,零空间就是这个向量方程的所有可能的解
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$$
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A\vec{X} = \overbrace{\begin{bmatrix}
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0 \\\\
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0
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\end{bmatrix}}^{\vec{V}}
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$$ |