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title: "《考研数学二》公式大全"
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date: 2022-12-24T13:05:40+08:00
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# 高等数学
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## 函数，极限，连续
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### 函数
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#### 函数的定义
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设在某个过程中有两个变量x和y，对变量x在允许的范围内的每一个确定的值，变量y按照某一确定的法则总有相应的值与之对应，则称y为x的函数，记为y=f(x)
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# 线性代数
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## 向量
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### n维向量定义及其运算
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#### 向量定义及其线性运算
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1. 向量定义
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n个数a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n组成一个有次序的数组，称为一个n维向量，用\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)(称为行向量)或\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)^T(称为列向量)来表示。称a_i为第i个分量，若干个同维列向量(或同维行向量)组成的集合称为向量组
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2. 向量加法
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\alpha + \beta = (a_1,a_2,\cdots,a_n)+(b_1,b_2,\cdots,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)
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3. 数乘向量
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$j\alpha = k(a_1,a_2,\cdots,a_n) = (ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$
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#### 线性组合与线性表出
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##### 向量组的线性组合
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有一组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$及一组数$k_1,k_2,\cdots,k_s$称$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$的一个线性组合
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##### 线性表出（线性表示）
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若向量$\beta$可表示为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$的一个线性组合，即有$k_1,k_2,\cdots,k_s$存在，使$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$$成立，则称向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表出（线性表示）
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1. 一个向量$\beta$能否由一个向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表示，等价于以$k_1,k_2,\cdots,k_s$为未知量的的线性方程组$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$是有解还是无解
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2. 若$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表示，其表现形式是唯一且是无穷多种形式，等价于线性方程组$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$在有解时值有唯一解且是无穷多组解
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##### 向量组的等价
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若向量组（I）$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$中每一个向量$\alpha_j(j = 1,2,\cdots,s)$均可由向量组(II)$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性表示，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示
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若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，向量组(II)也由向量组(I)线性表示，则称向量组(I)也于向量组(II)为等价向量组，记作：(I)$\cong$(II)
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向量组的等价存在以下性质：
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* 自反性
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* 任一个向量组于自身必等价
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* 对称性
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* 若向量组(I)$\cong$(II)，则(II)$\cong$(I)
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* 传递性
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* 若向量组(I)$\cong$(II)，向量组(II)$\cong$(III),则向量组(I)$\cong$(III)
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#### 向量组的线性相(无)关性
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##### 线性相关性的定义
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现有s个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$，若存在着一组不全为零的数组$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$成立，则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$是线性相关的向量组
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现有s个n维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$，若存在着一组不全为零的数组$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\not ={0}$成立,或若使$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$成立，只有$k_1=0,k_2=0,\cdots,k_s=0$,则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$是线性无关的向量组
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##### 线性相关性判断定理
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* 判定定理1
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* s个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关（无关）的充要条件为对应的齐次线性方程组$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$有非零解（或只有零解）
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* 推论
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* n个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关（无关）的充要条件是行列式$|A|=|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|=0(或\not ={0})$
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* 判定定理2
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* 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关（或无关）的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示（或没有一个向量可由其余向量线性表示）
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##### 一些重要定理与结论
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1. 包含零向量的向量组必定线性相关
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2. 包含两个相等向量的向量组必定线性相关
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3. 若一个向量组线性相关，则加上任意多个向量后，新加向量组仍线性相关（部分相关，全体必相关）
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4. 一个向量组线性无关，取出其中任何一部分也必线性无关（全体无关，部分必无关）
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5. 任意n+1个n维向量必线性相关（个数大于维数的向量组必线性相关）
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6. 一个向量组线性无关，则在相同位置出增加一个分量后得到的新向量组（可称加长组）仍线性无关
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7. 一个向量组线性相关，则在相同位置处去掉一个分量最后得到的新向量组（缩短组）仍线性相关
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8. 若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性无关，而$\beta,\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性相关，则$\beta$必可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$唯一地线性表示
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9. 设有向量组(I)$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$，向量组(II)$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$中每个向量都可由向量组(I)线性表示，且t>s,则向量组(II)必线性相关
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10. 若$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_s$线性表示，且$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性无关，则t$\leq$s |