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title: "《线性代数》矩阵乘法与线性变换复合"
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date: 2023-08-06T15:02:43+08:00
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## 矩阵与复合线性变换的关系
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复合线性变换：完成一次变换后再次进行变换，如先旋转再剪切。与一次变换相同，也可通过追踪$\hat{i}$和$\hat{j}$来确定变换后的向量变换
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新矩阵表示了一个单独的作用来完成复合线性变换
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对于一个先旋转后剪切的线性变换，可以用以下方式来进行计算
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选左乘旋转矩阵再左乘剪切矩阵,数值上表示对一个给定向量进行旋转然后剪切
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$$
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\begin{bmatrix}
|
||
1 & 1 \\\\
|
||
0 & 1
|
||
\end{bmatrix}
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||
(\begin{bmatrix}
|
||
0 & -1 \\\\
|
||
1 & 0
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
x \\\\
|
||
y
|
||
\end{bmatrix}) =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
1 & -1 \\\\
|
||
1 & 0
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
x \\\\
|
||
y
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
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由此可得，对于下列矩阵，需要从右向左读，即先应用右侧矩阵描述的变换再应用左侧矩阵描述的变换
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$$
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\begin{bmatrix}
|
||
1 & 1 \\\\
|
||
0 & 1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & -1 \\\\
|
||
1 & 0
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
1 & -1 \\\\
|
||
1 & 0
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
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||
**两个矩阵相乘有着几何意义，即两个线性变换相继作用**
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## 矩阵相乘计算流程
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$$
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\begin{bmatrix}
|
||
a & b \\\\
|
||
c & d
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
e & f \\\\
|
||
g & h
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
? & ? \\\\
|
||
? & ?
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
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首先，要得知$\hat{i}$的终点可由第二个矩阵的第一列得知，因此
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$$
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\begin{bmatrix}
|
||
a & b \\\\
|
||
c & d
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
e \\\\
|
||
g
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
e
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
a \\\\
|
||
c
|
||
\end{bmatrix} +
|
||
g
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
b \\\\
|
||
d
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
ae + bg \\\\
|
||
ce + dg
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
其次，$\hat{j}$终点在右侧矩阵第二列所表示的位置上
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||
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||
$$
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||
\begin{bmatrix}
|
||
a & b \\\\
|
||
c & d
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
f \\\\
|
||
h
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
f
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
a \\\\
|
||
c
|
||
\end{bmatrix} +
|
||
h
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
b \\\\
|
||
d
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
af + bh \\\\
|
||
cf + dh
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
可得最终结果为
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|
||
$$
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
a & b \\\\
|
||
c & d
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
e & f \\\\
|
||
g & h
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
ae + bg & af + bh \\\\
|
||
ce + dg & cd + dh
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
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||
### 矩阵相乘顺序
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$$
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||
M_1M_2 \not ={M_2M_1}
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$$
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矩阵相乘结果受顺序影响
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||
可由相乘本质是进行多次线性变换得知，改变变换的顺序会导致不同的结果
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||
对于结合律，本质上没有改变变换的顺序，因而不会导致结果不同
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$$
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||
A(BC) = (AB)C
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$$
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## 三维空间下的线性变换
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三维空间下的线性变换可由二维拓展，都可由基向量表示所有的向量
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三维下需要引入三个基向量，X轴的$\hat{i}$，Y轴的$\hat{j}$，Z轴的$\hat{k}$
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||
需要得知变换后的向量位置只需要将坐标与矩阵的对应列相乘
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||
$$
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 1 & 2 \\\\
|
||
3 & 4 & 5 \\\\
|
||
6 & 7 & 8
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
x \\\\
|
||
y \\\\
|
||
z
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
x
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 \\\\
|
||
3 \\\\
|
||
6
|
||
\end{bmatrix}+
|
||
y
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
1 \\\\
|
||
4 \\\\
|
||
7
|
||
\end{bmatrix} +
|
||
z
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
2 \\\\
|
||
5 \\\\
|
||
8
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0+y+2z \\\\
|
||
3x+4y+5z \\\\
|
||
6x+7y+8z
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
对于两个矩阵相乘也是类似的，第二个矩阵的三个列分别对应三个基向量的位置
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & -2 & 2 \\\\
|
||
5 & 1 & 5 \\\\
|
||
1 & 4 & -1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 1 & 2 \\\\
|
||
3 & 4 & 5 \\\\
|
||
6 & 7 & 8
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
$\hat{i}$的终点可由第二个矩阵的第一列得知
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & -2 & 2 \\\\
|
||
5 & 1 & 5 \\\\
|
||
1 & 4 & -1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 \\\\
|
||
3 \\\\
|
||
6
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
0
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 \\\\
|
||
5 \\\\
|
||
1
|
||
\end{bmatrix} +
|
||
3
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
-2 \\\\
|
||
1 \\\\
|
||
4
|
||
\end{bmatrix} +
|
||
6
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
2 \\\\
|
||
5 \\\\
|
||
-1
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0-6+12 \\\\
|
||
0+3+30 \\\\
|
||
0+12-6
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
$\hat{j}$的终点可由第二个矩阵的第二列得知
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & -2 & 2 \\\\
|
||
5 & 1 & 5 \\\\
|
||
1 & 4 & -1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
1 \\\\
|
||
4 \\\\
|
||
7
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
1
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 \\\\
|
||
5 \\\\
|
||
1
|
||
\end{bmatrix} +
|
||
4
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
-2 \\\\
|
||
1 \\\\
|
||
4
|
||
\end{bmatrix} +
|
||
7
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
2 \\\\
|
||
5 \\\\
|
||
-1
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0-8+14 \\\\
|
||
5+4+35 \\\\
|
||
1+16-7
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
$\hat{k}$的终点可由第二个矩阵的第三列得知
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & -2 & 2 \\\\
|
||
5 & 1 & 5 \\\\
|
||
1 & 4 & -1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
2 \\\\
|
||
5 \\\\
|
||
8
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
2
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 \\\\
|
||
5 \\\\
|
||
1
|
||
\end{bmatrix} +
|
||
5
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
-2 \\\\
|
||
1 \\\\
|
||
4
|
||
\end{bmatrix} +
|
||
8
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
2 \\\\
|
||
5 \\\\
|
||
-1
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0-10+16 \\\\
|
||
10+5+40 \\\\
|
||
2+20-8
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
所以最终结果为
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & -2 & 2 \\\\
|
||
5 & 1 & 5 \\\\
|
||
1 & 4 & -1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0 & 1 & 2 \\\\
|
||
3 & 4 & 5 \\\\
|
||
6 & 7 & 8
|
||
\end{bmatrix} =
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
0-6+12 & 0-8+14 & 0-10+16 \\\\
|
||
0+3+30 & 5+4+35 & 10+5+40 \\\\
|
||
0+12-6 & 1+16-7 & 2+20-8
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
## 非方阵
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|
||
对于一个3$\times$2矩阵$\begin{bmatrix}
|
||
2 & 0 \\\\
|
||
-1 & 1 \\\\
|
||
-2 & 1
|
||
\end{bmatrix}$同样可以用线性变换来解释，只是输入向量和输出向量在不同维度上，因而没有关联
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第一列认为是变换后的$\hat{i}$,第二列认为是变换后的$\hat{j}$
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列空间是三维空间中一个过原点的二维平面，但由于列空间的维数与输入空间维数相等，依旧是满秩的，几何意义是将二维空间映射到三维空间上
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同样地，对于一个2 $\times$ 3矩阵
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几何上表示将三维空间映射到二维空间上
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二维到一维空间的转换也存在，一维空间本质就是数轴，即将两个基向量压缩到一条直线上，如果直线上有一系列等距分布的点，在映射到数轴后依旧保持等距分布此处不再过多赘述
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